第三章-一元函数的导数及其应用(测试)(解析版).docx

第三章 一元函数的导数及其应用（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】由题意知,所以，解得，则，故．
故选：B
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题意可知，若1不是函数的极值点，则，即，
当时，，故当 ，当，因此是 的极值点，1不是极值点，故满足题意，
故选：D
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（    ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【解析】由，可知函数的图象关于直线对称；
对求导，得，
则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，解得，
又，即，

所以.
故选：A.
5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知,
因为函数存在减区间,则有解,
即有解,
令,,
令,解得 ; 令,解得 ,
所以在单调递减, 单调递增,
所以,
因为有解,所以,
解得.
故选:D.
6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，
所以当时，，则，于是，即；
当时，，则，所以，
而，于是，即；
综上：.
故选：C
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（    ）
A．0.50 B． C． D．0.56
【答案】B
【解析】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选：B.
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，其中，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
又因为，故函数为奇函数，
由可得，
所以，，所以，，
令，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，
所以，．
故选：AB．
10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在区间上单调递增，
故在区间上单调递增，则在R上单调递增，
∵，即，
∴，解得，
故A、B正确，C、D错误.
故选：AB．
11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数，则（    ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【解析】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：

由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：

由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
12．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】若恒成立，则恒成立，
构建，则，
∵，故，则有：
当，即时，则当时恒成立，
故在上单调递增，则，
即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；
当，即时，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
∵，
故满足的整数；
综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数的图象在处的切线方程为________．
【答案】
【解析】因为，则，，
则，
所以切线方程为，整理得.
故答案为：
14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数______.
①定义城为，②导函数；③值域为
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，
因为，解得，所以的定义城为，符合①；
，符合②；
因为，所以的值域为，符合③.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】∵，为连续函数，为单调函数，
所以在上无极值点；
又在上至多有一个极值点，
则的对称轴为，
要使恰有两个极值点，
∴和是必为的两个极值点，
∴，解得：，所以是的极大值点，
又在上单调递减，要使为的极值点，
则在上单调递增，∴；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
16．（2023·河北·校联考三模）已知分别是函数图象上的动点，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】因为反解得，
所以与互为反函数，关于对称，
所以的最小值为点到直线的距离的最小值的2倍，
当曲线在点处的切线与平行时，点到直线的距离有最小值，
，令，解得，所以，则点到直线的距离,
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【解析】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：

0

1

2

0

单调递增
极大值
单调递减

故，．
18．（12分）
（2023·北京西城·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
(3)判断与的大小关系，并加以证明．
【解析】（1）,所以，．            
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题设，．
所以．            
当时，因为，所以．                    
所以在上单调递增．
（3）．
证明如下：    
设．        
则．        
由（2）知在上单调递增，所以．                        
所以，即在上单调递增．        
所以，即．
19．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】（1）由题意，当时，；当时，.
所以.
（2）当时，，令，解得.
易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，
.
当时，，
当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
20．（12分）
（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.
【解析】（1）依题设方程，即方程
的两根分别为a、b∴
∴
因为，且，则，
∴，∴当且时，，
∴在区间，上单调递增.
（2）由，得，∴，∴，
时或，当x在上变化时，，的变化情况如下：

0

0
+
+
0

极小值

极大值

∴的大致图象如图,
∴方程有两个不等根时，转化为直线与函数的图象有两交点，
则.

21．（12分）
（2023·广西南宁·统考一模），
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)证明对于任意正整数，都有.
【解析】（1）的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以

.
即证：.
22．（12分）
（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数和函数，且有最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．
【解析】（1）的定义域为R，且，，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知：在递增，在递减，
又，所以在递增，在递减，
和的图象如图所示：

设和的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线和共有三个不同的交点，
则，且，，，
因为，所以，即，
因为，，且在递增，所以，
所以，
因为，所以，即，
因为，，且在递减，
所以，所以，
所以，即．