重积分的概念及性质.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,微积分,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,微积分,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,微积分,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,高等数学,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,导数与微分,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,编码理论基础,】,电子教程,导数与微分,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理学院信息与计算科学系,【,高等数学,电子教程,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,理学院信息与计算科学系,【,高 等 数 学,】,电子教程,这是母版请别在此写东西,请进入“视图”菜单中的“普通”选项,在那里编写电子课件,注,:,这是母版,请别修改,理学院信息与计算科学系,哈尔滨工程大学,微积分,这是母版请别在此写东西,请进入“视图”菜单中的“普通”选项,在那里编写电子课件,注,:,这是母版,请别修改,理学院工科数学教学中心,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数与微分,#,微积分,A,刻苦 勤奋,求实 创新,理学院工科数学教学中心,第九章 重 积 分,教学内容和基本要求,理解二重积分、三重积分的概念，及其性质,掌握积分中值定理,。,掌握二重积分的计算方法,(,直角坐标、极坐标,).,会用重积分求一些几何量与物理量,(,如面积,、,体积、,曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等,),。,了解三重积分的计算方法,(,直角坐标、柱面坐标、,球面坐标,),。,重点与难点,重点：二重积分的计算方法,三重积分的计算方法,.,难点：,三重积分计算方法,重积分在几何及物理方面的应用,.,回忆定积分,.,设一元函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,可积.,则,0,x,y,a,b,x,i,x,i,+1,i,y,=,f,(,x,),f,(i,),其中,i,x,i,x,i,+1,x,i,=,x,i,+1,x,i,表小区间,x,i,x,i,+1,的长,f,(,i,),x,i,表示小矩形的面积,.,9.1,二重积分的概念与性质,多元函数积分学的内容简介,一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。,这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形。,本章将推广到定义在空间区域上多元函数积分学为,重积分。,包含二重积分、三重积分等。,下章将推广到定义在曲线及曲面上多元函数积分学为线积分、面积分学。,柱体体积,=,底面积,高,特点：平顶,柱体体积,=,？,特点：曲顶,1.,曲顶柱体的体积一、问题的提出,曲顶柱体,曲顶柱体：,以曲面：,z,=,f,(,x,y,),为顶，,一般,z,=,f,(,x,y,),在,D,上连续,。,以平面有界区域,D,为底，,侧面是柱面，,该柱面以,D,为准线，,母线平行于,z,轴。,还有其他类型的柱面。,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，,设有一立体,.,其底面是,xy,面上的区域,D,其侧面为母线平行于,z,轴的柱面,其顶是曲面,z,=,f,(,x,y,),0,连续.,0,y,z,x,z,=,f,(,x,y,),D,如何求曲顶柱体的体积,V,.,步骤如下：,用若干个小平,顶柱体体积之,和近似表示曲,顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,具体步骤见下页,:,(i),用曲线将,D,分成,n,个小区域,D,1,D,2,D,n,每个小区域,D,i,都对应着一个小曲顶柱体,.,如图,z,=,f,(,x,y,),0,y,z,x,z,=,f,(,x,y,),D,D,i,D,i,(ii),由于,D,i,很小,z,=,f,(,x,y,),连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,(,i,i,),D,i,.,小平顶柱体的高=,f,(,i,i,).,若记,i,=,D,i,的面积.,则小平顶柱体的体积,=,f,(,i,i,),I,小曲顶柱体体积,f,(,i,i,),(,i,i,),D,i,z,=,f,(,x,y,),(iii),因此,大曲顶柱体的体积,分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值,V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值,V,.,也就是,(iv),其中,D,i,的直径是指,D,i,中相距最远的两点的距离,.,其中,(,i,i,),D,i,i,=,D,i,的面积,.,x,y,D,i,如图,当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的,质量,=,面密度,面积,.,2.,平面薄板的质量,M,.,若平面薄板的质量不是均匀分布的,.,这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量,M,(,i),用曲线将,D,分成,n,个小区域,D,1,D,2,D,n,设一平面薄板,所占区域为,D,面密度,(,x,y,)0,连续.(,x,y,),D.,求该平面薄板的质量,M,.,0,x,y,D,D,i,D,i,的面积记作,i,.,0,x,y,D,D,i,由于,(,x,y,)0,连续,从而当,D,i,很小时,(,x,y,),在,D,i,上的变化不大,可近似看作,(,x,y,),在,D,i,上是不变的.,从而可用算均匀薄板的质量的方法算出,D,i,这一小块质量的近似值,.,(ii),即,(,i,i,),D,i,以,(,i,i,),作为,D,i,这一,小片薄板的面密度,.,从而,第,i,片薄板的质量,m,i,(,i,i,),i,(iii),故,平面薄板的质量,(iv),设,z=f,(,x,y,),是定义在有界闭区域,D,R,2,上的有界函数,.,将,D,任意分割成,n,个无公共内点的小区域,D,i,(I=1,2,n,),其面积记为,i,.,(,i,i,),D,i,作积,f,(,i,i,),i,二、二重积分的概念与性质,1.,定义,若对任意的分法和任意的取法,当,0,时,和式,的极限存在且极限值都为,I,则称,f,(,x,y,),在,D,上,可积,记为,f,(,x,y,),R,(,D,),并称此极限值,I,为,f,(,x,y,),在,D,上的二重积分,.,记作,即,积分区域,被积函数,面积微元,二重积分符号,积分变量,积分和,注,1.,定积分,二重积分,区别在将小区间的长度,x,i,换成小区域的面积,i将一元函数,f,(,x,),在数轴上点,i,处的函数值,f,(,i,),换成二元函数,f,(,x,y,),在平面上点,(,i,i,),处的函数值,f,(,i,i,).,可见,二重积分是定积分的推广,.,注,2.,若将,D,用两族平行于,x,轴和,y,轴的,直线分割,.(,如图,),D,i,D,则除边界上区域外,D,i,的面积,i,=,x,i,y,i,故也将二重积分写成,是我们常用的写法,注,3.,可以证明若,f,(,x,y,),在,D,上连续,则,f,(,x,y,),在,D,上可积,若,f,(,x,y,),在,D,上有界,且在,D,内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则,f,(,x,y,),可积,.,2.,二重积分的性质,设,D,为有界闭区域,以下涉及的积分均存在,.,性质,1.,性质,2.,性质,3.,性质,4.,若在,D,上有,f,(,x,y,),g,(,x,y,),则,特别,:(i),若在,D,上,f,(,x,y,),0,则,(ii),这是因为,|,f,(,x,y,),|,f,(,x,y,),|,f,(,x,y,),|,积分后即得,.,性质,5.,若在,D,上,m,f,(,x,y,),M,则,设,f,(,x,y,),C,(,D,),则,(,),D,使得,性质,6.,性质,7.,3.,二重积分的几何意义,(i),z,=,f,(,x,y,),0,(ii),z,=,f,(,x,y,),0,(iii),=(D,1,上曲顶柱体体积,),(,D,2,上曲顶柱体体积,),设,x,y,在,D,上可积,则,Good,Bye,