重积分的概念与性质.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,二重积分的概念与性质,第九章,解法,:,类似定积分解决问题的思想,:,一、引例,1.,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3)“,近似和”,则,中任取,一点,小曲顶柱体,4)“,取极限”,令,2.,平面薄片的质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决,.,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域,.,2)“,常代变”,中,任取,一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块的质量,两个问题的,共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,二、二重积分的定义及可积性,定义,:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,二重积分存在定理,:,若函数,定理,2,.,(,证明略,),定理,1,.,在,D,上,可积,.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上二重积分存在,;,在,D,上,二重积分不存在,.,三、二重积分的性质,(,k,为常数,),为,D,的面积,则,特别,由于,则,5.,若在,D,上,6.,设,D,的面积为,则有,7.,(,二重积分的中值定理,),证,:,由性质,6,可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例,1.,比较下列积分的大小,:,其中,解,:,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点,(1,0),而域,D,位,从而,于直线的上方,故在,D,上,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,被积函数,相同,且,非负,思考与练习,解,:,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0,y,1,则,的大小顺序为,(),提示,:,因,0,y,1,故,故在,D,上有,3.,计算,解,:,P78 2,，,4(1)(3),，,5(2)(4),P95 1(1)(3),作业,