7-2万有引力定律(人教版2019必修第二册)(原卷版).docx

第七章 万有引力与宇宙航行
第二节 万有引力定律
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。
(2)理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发展过程中大胆猜想与严格求证的重要性。
(3)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
科学思维
知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。
科学探究
学习卡文迪许用扭秤测万有引力常量的方法，进一步体会“放大法”的物理思想。
科学态度与责任
让学生经历万有引力的推导过程，培养学生科学思维和科学探究素养。

知识点一　　行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳运动的原因猜想：太阳对行星的引力。
2．模型建立：

行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
3．太阳对行星的引力：
引力提供行星做匀速圆周运动的向心力：F＝m，行星绕太阳运行的线速度：v＝，行星轨道半径r与周期T的关系：＝k。于是得出：F＝4π2k，即F∝。
4．行星对太阳的引力：由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m太成正比。
5．行星与太阳间的引力：由F∝，F∝m太可得F∝，可写成F＝G。
知识点二　　月—地检验
1．牛顿的思考：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力若为同一种力，其大小的表达式满足F＝G。
2．检验过程
[理论分析]　对月球绕地球做匀速圆周运动，
由F＝G和a月＝，
可得：a月＝
对苹果自由落体，由F＝G和a苹＝
得：a苹＝
由r＝60R，可得：＝
[天文观测]　已知自由落体加速度g＝9.8 m/s2，月地中心间距r月地＝3.8×108m，月球公转周期T月＝2.36×106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速度a月＝·r月地≈2.7×10－3m/s2，≈。
3．检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星间的引力，遵从相同的规律。
知识点三　万有引力定律
1．定律内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝G式中，质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N。
3．引力常量：式中G叫作引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
4.对万有引力定律的理解：无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力。
①万有引力表达式F＝G的适用条件
(1)严格地说，万有引力定律只适用于质点的相互作用。
(2)两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用，也可用万有引力定律计算，其中r是两个球体或球壳的球心间的距离。
(3)如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，公式可近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
②引力常量
(1)1789年，英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。

(2)标准值G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。测定G值的意义：a证明了万有引力的存在；b使万有引力定律有了真正的实用价值。
特别提醒
(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力。
(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对放入其中的物体的万有引力。
5.万有引力的“四性”：
特点
内容
普遍性
万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一

相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性

两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关

知识点四　万有引力与重力的关系
1．重力为地球引力的分力
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。

2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg0＝F＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg易混点1.万有引力定律的公式及适用条件
易错易混点辨析：万有引力表达式F＝G，适用条件为两个质点之间的相互作用，对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义，因为此时由于r→0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用。
例1.(多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是 ( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析：选AC。引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，C正确、D错误；公式F＝G适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B错误。
例2.(2022·四川成都月考)下列关于万有引力的说法正确的是(　　)
A.牛顿测出了引力常量G
B.对于质量分布均匀的球体，公式F＝中的r指两球心之间的距离
C.因地球质量远小于太阳质量，故太阳对地球的引力远小于地球对太阳的引力
D.设想把一物体放到地球的中心(地心)，则该物体受到地球的万有引力无穷大
解析：选B。卡文迪许测出了引力常量G，A错误；对于质量分布均匀的球体，公式F＝中的r指两球心之间的距离，B正确；万有引力是相互作用力，则太阳对地球的引力等于地球对太阳的引力，C错误；由对称性可知，处于地球中心的物体受到的万有引力为0，D错误。
例3.(2021·山东菏泽期中)物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是(　　)

A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
解析：选D。地面上普通物体间的引力太微小，这个力很难测量，故不易通过万有引力定律公式直接计算G，A正确；引力常量是一个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面上普通物体间的引力太微小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确。
易错易混点3.万有引力定律的应用
易错易混点辨析：由于万有引力常量很小，所以我们日常身边的物体之间万有引力通常是忽略不计的，只有天体之间或天体与物体之间我们才需要考虑；不同的星球，具有同样的规律，做比求解经常会被用到；要注意区分星球的实际半径R和两质点之间距离r。
例4.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍
解析:　选C。根据万有引力定律得：宇航员在地球上所受的万有引力F1＝，在星球上受的万有引力F2＝，所以＝＝×22＝2，故C正确。
例5.某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为(　　)
A．G B．G
C．G D．G
解析：选B。万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h。
易错易混点3. 万有引力和重力的关系
易错易混点辨析：地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向。(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg0＝F＝G。(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
例6.假如地球自转速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的是(　　)
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
解析：选ABC。地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B正确，D错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G＋mω2R，由于ω增大，则G减小，选项C正确。
例7.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C。　在“极点”处：mg2＝；在其表面“赤道”处：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故选C。
易错易混点4.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
易错易混点辨析：
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝。
例8.在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面重力加速度大小的(　　)
A．2倍 B．1倍 C.倍 D.倍
解析:选D。由“平方反比”规律知，g∝，故＝＝＝＝。
例9.一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
解析：选C。在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝
m/s2＝，因为G＝g′，可得r＝4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍，选C。

地球对物体的万有引力F表现为两个效果:
一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示.
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R.
(2)在两极上:G=mg2.
针对训练
1.对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是(　　)
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
2.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍
3.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起,它们之间的万有引力为F,若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起,则它们之间的万有引力为 (　　)
A.2F 　　　B.4F　　　C.8F 　　　D.16F
4．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2︰，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为(　　)
A.R B. R C．2R D.R
5．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径是地球直径的两倍，那么这名宇航员在该星球上所受万有引力大小与他在地球上所受万有引力大小的比值是(　　)
A．0.25 B．0.125 C．2 D．0.5
6．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力．关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法正确的是(　　)
A．离地面高度R处为4mg B．离地面高度R处为mg
C．离地面高度2R处为mg D．离地面高度R处为mg
7．已知在太阳系外某“宜居”行星的质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重力为600 N的人在这个行星表面的重力将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．1︰2 B．2︰1 C．3︰2 D．4︰1
8．重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的(　　)
A. B. C. D.
9．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0 B. C. D.
10.如图所示，阴影区域是质量为M，半径为R的匀质大圆球挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大圆球球心O间的距离是.求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力(已知引力常量为G，质点P在两球球心O′O连线的延长线上)。

11．某星球“一天”的时间是T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%.设想该星球自转的角速度加快，赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？

12．已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的.
(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？