第一单元思维导图.doc

如何判断一个数是不是质数？
一个数除了1和本身，还是其它数的倍数，那它一定是合数。（三保险）
①2，5，3的倍数特征判断
②能否被7整除
③100以内质数口诀：
☆一个数的最大因数与最小倍数
都是21，那么这个数是？ 21
一个数
因数
倍数
个数
有限
无限
最小
1
本身
最大
本身
无限

12的因数
4，
12
1，2，
3，6
9，
18
18的因数
☆找30以内6的倍数

6×1＝6
6×2＝12
6×3＝18
6×4＝24
6×5＝30
30以内6的倍数：
6，12，18，24，30
30以内6的倍数
奇数（不是2的倍数）
2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8
5的倍数特征：个位是0，5
3的倍数特征：各个数位之和是3的倍数

☆划“3”法
判断是否是3的倍数：15110151987
找因数
找倍数
探究
研究因数与倍数
正整数
（1,2,3…）
整数
0
负整数
（-1,-2,-3…）
自然数
按是否是2的倍数分类
偶数（2的倍数）
1 （1个因数）
质数 （2个因数：1和本身）
合数 （3个和3个以上因数）
数的奇偶性
（举例）
6，12，18，
24，30
☆判断下面各数是不是质数？
20120914（看个位4，是2的倍数）
51（5＋1＝6，是3的倍数，那么
51也是3的倍数）
91（能被7整除）
所以它们都是合数。
☆由0，1，2，6组成的三位数
①是2的倍数：120，210，160，610，260，620，102，162，612，602，106，206，126，216
②是5的倍数：120，210，160，610，260，620
③是3的倍数：120，210，201，261，621，102，162，612，126，216
④是2和3的倍数：120，210，102，162，162，126，216
⑤是3和5的倍数：120，210
⑥是23和5的倍数：120，210
①最小的质数是2，
最小的合数是4；

②除了2以外，所
有的质数都是奇数；

③除了2以外，所
有的偶数都是合数；

④“2”是质数中
唯一的偶数。
按因数个数分类
☆找12和18的全部因数和公因数

12＝1×12＝2×6＝3×4
12的全部因数：1，2，3，4，6，12

18＝1×18＝2×9＝3×6
18的全部因数：1，2，3，6，9，18
2，3，5，7，11
13，19，17
23，29，37
31，41，47
43，53，59
61，71，67
73，83，89
79，97
第一单元 倍数与因数
思维导图

第一单元 倍数与因数
整数
负整数
（-1,-2,-3…）
自然数
正整数
（1,2,3…）
0
教学大纲

①

整数可分为正整数（1，2，3…）、0和负整数（-1，-2，-3…）三类，正整数和0又统称自然数。自然数就是自然的数，能够表示自然界事物的个数。比如在教室里的人数：有45人，45是自然数；一个人也没有，记作0人，0是自然数；有2.7人，就是错误的，不可能用2.7表示人数，也不可能用-5、3/10表示人数，所以像450这样的数是自然数，2.7、-5、3/10这样的数不是自然数。

☆整数、自然数分类练习
把下列数填入适当的圈里：7，-4，0，-22，9/10，200，8，6.2，-6，0.1，7.5

自然数 整数

答案：自然数：7，0，200，8
整数：7，-4，022，200，8，-6
注意数与数之间用，隔开。

②如果4×5＝20，那么4和5就是20的因数，20是4和5的倍数。
如果35÷7＝5，那么5和7是35的因数，35是5和7的倍数

教材第2页中，智慧老人说：“我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数”。根据①的分类不难发现，自然数（零除外）实际上就是正整数范围。也就是说，我们只在像1，2，3，4，5…10000…这些正整数的范围内才提因数与倍数。0、负数、小数和分数是不存在因数与倍数关系的。
☆因数与倍数关系练习
Ⅰ.判断正误：
1）4是因数，10是倍数。（ ） 解释：错误，因数与倍数是一种相互关系，不能单说谁是因数，谁是倍数。
2）因为2.4×5＝12，所以2.4和5是12的因数，12是2.4和5的倍数。（ ） 解释：错误，因数与倍数只在正整数范围内研究，2.4是小数。
3）因为1×7＝7，所以1和7是7的因数，7是1和7的倍数。（ ） 解释：正确，还能发现：一个数的因数最小是1，最大是它本身。
4）因为16÷8＝2，所以16和8是2的因数，2是16和8的倍数。（ ） 解释：错误，2和8是16的因数，16是2和8的倍数。
5）因为2﹢21＝23，所以2和21是23的因数，23是2和21的倍数。（ ） 解释：错误，因数与倍数中的“因”与“倍”只用在乘除法中。

Ⅱ.自己想算式，填一填：<细心，别马虎>

（ ）×（ ）＝（ ） （ ）÷（ ）＝（ ）
（ ）是（ ）和（ ）的倍数， （ ）和（ ）是（ ）的因数，
（ ）和（ ）是（ ）的因数。 （ ）是（ ）和（ ）的倍数。

分支1：③找倍数
1）找一个数的倍数的方法：从1开始乘，有序列举。
2）判断一些数是某个数倍数的方法：列除法算式，看能否整除。

☆Ⅰ.找30以内6的倍数，并用集合图表示
30以内6的倍数
6，12，18，
24，30

6×1＝6
6×2＝12
6×3＝18 注意：30以内包括30；
6×4＝24 数与数之间用，隔开。
6×5＝30
30以内6的倍数：6，12，18，24，30
Ⅱ.下面哪些数是7的倍数，在括号里打“√”
14 17 77 .0 2.1 35 答案：14、77、35是7的倍数，0、2.1不是，因为倍数
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 与因数只在正整数范围内研究。

思考：“找30以内6的所有倍数”和“找6的所有倍数”有何区别？为什么？
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身！

④2，5，3的倍数特征
2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8；
5的倍数特征：个位是0，5；
3的倍数特征：各个数位之和是3的倍数。（还可以用划“3”法判断）

☆Ⅰ.划“3”法练习：15110151987

Ⅱ.2，5，3的倍数特征综合练习
不计算，判断算式有没有余数
37÷2（ ） 60÷5（ ） 113÷3（ ） 分析：“不计算判断算式有没有余数”就是判断能否整除，
48÷2（ ） 297÷5（ ） 20120914÷3（ ） 实质是判断被除数是不是除数的倍数。

由0，1，2，6组成的三位数，按要求填写（不必全部找出来）
1）是2的倍数： 120，210，160，610，260，620，102，162，612，602，106，206，126，216
2）是5的倍数： 120，210，160，610，260，620
3）是3的倍数： 120，210，201，261，621，102，162，612，126，216
4）是2和3的倍数： 120，210，102，162，162，126，216
5）是3和5的倍数： 120，210
6）是2，3和5的倍数： 120，210
按是否是2的倍数分类
正整数
（1,2,3…）
奇数（不是2的倍数，个位是1，3，5，7，9）
⑤
偶数（2的倍数，个位是0，2，4，6，8）

☆填一填
1）19—29之间的所有偶数： 20，22，24，26，28
2）28—38之间的所有奇数： 29，31，33，35，37
3）98后面的5个连续偶数： 100，102，104，106，108
4）67后面的5个连续奇数： 69，71，73，75，77

⑥数的奇偶性
奇数＋奇数＝偶数 奇数－奇数＝偶数 奇数×奇数＝奇数
偶数﹢偶数＝偶数 偶数－偶数＝偶数 偶数×偶数＝偶数
奇数﹢偶数＝奇数 奇数－偶数＝奇数 奇数×偶数＝偶数
偶数－奇数＝奇数
以上规律并不需要记忆，如果遗忘可以用数去试，推断出来。但是为什么会是这样的结果呢？
实质：奇数与偶数的运算就像大家在找朋友，偶数都是一对一对的朋友，如6：
奇数是一对一对的朋友，但是多出来一个没找到朋友，如7：
所以，“偶数﹢偶数”的实质是一对一对的朋友相加，最后不会出现单个的朋友 ，所以还是偶数；
“奇数＋奇数”的实质是一对一对的朋友相加，而且两个各自在以前找不到朋友的 重新组合，成为新的一对朋友
所以“奇数＋奇数”得到的是偶数，同理其它算式可以自行理解。

☆数的奇偶性练习
1）判断是奇数还是偶数：
2738＋384的和是（ ）。 答案：先判断2738是偶数，384也是偶数，偶数＋偶数还等于偶数。
786－539的差是（ ）。 答案：先判断786是偶数，539是奇数，偶数－奇数等于奇数。
一个奇数与2相乘的积是（ ）。 答案：奇数乘以2，相当于两个奇数相加，和是偶数；还可以把2想成偶数，奇数×偶数＝偶数。
11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19的和是（ ）。 答案：奇数，规律：几个数字相加，当奇数的个数是奇数时，和是奇数；当奇数的
个数是偶数时，和是偶数。

2）一本书封面朝上放在桌上，翻动1次，封面朝下，翻动2次，封面朝上。翻动10次后，封面是朝上还是朝下？翻动111次呢？
注：此类题关键在于找到初始状态，然后可列举发现规律。

分支2：⑦找因数
找因数的方法：想乘法算式，从1开始，一对一对地找。（有序、成对）

☆找12和18的全部因数和公因数，并用集合图表示

9，
18
1，2，
3，6
4，
12
18的因数
12的因数
12＝1×12＝2×6＝3×49，
18
1，2，
3，6
4，
12

12的全部因数：1，2，3，4，6，12 常见错误：重复填写
1，2，
3，6，
9，18
1，2，
3，6
1，2，3，4，
6，12
18的因数
12的因数

18＝1×18＝2×9＝3×6 注意用，隔开！
18的全部因数：1，2，3，6，9，18

思考：可以找到一个数的全部因数吗？你有什么发现？
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身！

对比因数与倍数：
一个数
因数
倍数
个数
有限
无限
最小
1
本身
最大
本身
无限

☆因数与倍数关系练习
填空：一个数的最大因数与最小倍数都是21，那么这个数是（ ） 21
判断： 一个数的倍数一定比这个数的因数要大。（ ） 错误，一个数的最大因数就等于最小倍数。
质数（素数） 2个因数（1和本身）
按因数的个数分类
1 1个因数（1）
正整数
（1,2,3…）
⑦
合数 3个和3个以上因数

如何判断一个数是不是质数？一个数除了1和本身，还是其它数的倍数，那它一定是合数。（“三保险”）
1）根据2，5，3的倍数特征判断是否是2，5，3的倍数；
2）看能否被7整除，判断是否是7的倍数；
3）100以内质数表判断，口诀：
2，3，5，7一11，
13，19和17，
23，29，37，
31，41，47，
43，53，59，
61，71，67，
73，83，89，
还有79和97。

☆判断下面各数是不是质数？
1）20120914 答案：利用第一保险，先看个位4，是2的倍数，则2一定是20120914的因数。所以20120914除了1和它本身两个因数
外，还有第三个因数2，而质数应该只有2个因数，所以判断20120914是合数。
2）51 答案：利用第一保险，5＋1＝6是3的倍数，那么51也是3的倍数，所以51是合数。
3）91 答案：第一保险失效，利用第二保险，判断91能被7整除，所以91是合数

⑧质数、合数、奇数和偶数之间的关系
最小的质数是2，最小的合数是4；
除了2以外，所有的质数都是奇数； “2”是质数中唯一的偶数。
除了2以外，所有的偶数都是合数。
☆质数、合数、奇数和偶数的练习
猜一猜，有一个五位数：
万位上的数既不是质数也不是合数。 答案：15726，分析：既不是质数，也不是合数，是1；
千位上的数比最小的合数多1。 最小的合数是4，比最小的合数多1，是5；
百位上的数是10以内最大的素数。 10以内最大的素数，也就是质数，是7；
十位上的数既是偶数，又是质数。 既是偶数又是质数的数只有一个，是2；
个位上的数是最小的两个连续质数的积。 最小的两个质数是2和3，乘积是6。