第三章-函数及其应用章末检测(新高考通用)解析版.docx

第三章 函数及其应用章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
分析】根据对数函数和指数函数的性质分别解得集合，再由交集定义写出.
【详解】解，得，所以，
解，得，所以,
所以.
故选：C.
2．已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（    ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．( 3，4)
【答案】C
【解析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.
【详解】为上增函数

由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.
故选：C
3．下列函数在上为增函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，
因此选项A不正确；
因为在上为减函数，
所以选项B不正确；
因为在上为减函数，
所以选项C不正确；
当时，，显然函数在上为增函数，
所以选项D正确，
故选：D
4．已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别利用函数单调性判断出a、b、c的范围，即可得到答案.
【详解】∵，
∴．
故选：A．
5．函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.
详解：由可得，设,
因为函数在上递减，递增，
所以函数的单调递减区间为，故选C.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.
6．函数（）的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性判断对称性，结合大小确定函数图像.
【详解】由题设知，且定义域关于原点对称，
所以函数是奇函数，排除A、C，

由于，即，排除D.
故选：B
7．若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，由，可得，再由，再作商法，得，从而得解.
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，，所以，所以，故，
因为，又因为，
故，从而有，综上所述：.
故选：B.
8．已知函数的定义域均为，且.若的图象关于直线对称，且，现有四个结论：①；②4为的周期；③的图象关于点对称；④.其中结论正确的编号为（    ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】对中的合理的赋值消去到得，从而得到的周期；根据的图象关于直线对称及平移得的图象关于直线，对称；由及对称性求得.
【详解】由，可得，
又因为，所以，
可得，所以4为的周期，
因为的图象关于直线对称，由，
可知的图象关于直线对称，，
则的图象关于直线对称，所以，
又因为，即，所以.
故结论正确的编号为①②④.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质.如在本题中，将中的代换为可得，与联立消去可得，再进一步推断的性质.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 则下列结论正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.
【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确.
故选：ABC．
10．下列命题为真命题的是（    ）
A．幂函数的图像过点，则
B．函数的定义域为，则的定义域为
C．，是奇函数，是偶函数，则
D．关于的方程与的根分别为，，则
【答案】ACD
【分析】对于A，用待定系数法求解即可；对于B，根据复合函数定义域的求法求解即可；对于C，利用奇偶性推出周期，根据周期求解即可；对于D，利用、、的图象的对称性即可.
【详解】对于A，设，则，得，所以，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，即，所以，
由，得，即的定义域为，故B不正确；
对于C，因为是奇函数，所以，因为是偶函数，所以，所以，即，
所以，所以，
所以，，则的一个周期为，
所以，故C正确；
对于D，依题意得，，
所以分别为函数、的图象与函数的图象的交点的横坐标，
又因为、的图象都关于直线对称，自身关于直线对称，
所以函数、的图象与函数的图象的交点也关于对称，

联立，得，得，
因为的中点为，所以，故D正确.
故选：ACD
11．已知函数若函数有4个零点，则的取值可能是（    ）
A． B．-1 C．0 D．2
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的图像，寻找与有两个交点的的取值范围，即可解答.
【详解】令，即，解得或.当时，.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，且.画出的图象，如图所示.由图可知有2个不同的实根，则有4个零点等价于有2个不同的实根，且，故.

故选：AC
12．已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（    ）
A．当时，
B．若函数在区间上有两个零点、，则有
C．函数在上的最小值为
D．
【答案】ACD
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出函数在上的解析式，可判断A选项；利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利用函数的周期性和在上的单调性可判断D选项.
【详解】因为函数和都是偶函数，则，，
所以，，即，
因此是周期为的周期函数．
对于A，当时，，则，
当时，则，则，
综上所述，当时，，A对；
对于B选项，当时，，则，
不妨设，因为函数在上单调递减，则，
由可得，
所以，，
即，则，B错；
对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
由于函数是周期为的周期函数，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
而函数在上单调递增，所以，，则，
所以，当时，，
所以，函数在上的最小值为，C对；
对于D选项，，
，
，
又函数在上单调递减，，D对.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数图象关于原点对称，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】由题意可知是奇函数，从而有，由的任意性即可求得实数的值.
【详解】依题意，可知是其定义域内的奇函数，则，
因为，所以，
故，
由的任意性可得，即，
故，则.
经检验：满足题意，故.
故答案为：.
14．若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．
【答案】[-6，1）
【分析】根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】由题意得：，
解得：-6≤a＜1，
故答案为[-6，1）．
【点睛】本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．
15．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为，利用函数的单调性建立条件关系即可
【详解】由函数性质知，
，
∴，
即，解得，∴，
故答案为：.
16．已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为__________．
【答案】/
【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围．
【详解】为偶函数，为奇函数，，即
又，解得，
时，等价于，
化简得，，
令，则，在上单调递增，
当时，
则实数的最大值为
故答案为：

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
(1)求函数的表达式；
(2)设，求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；
（2）依题意可得，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨论，即可求出函数的最小值.
【详解】（1）由题意得 ，所以，
因为对于任意，都有，即恒成立，
故，解得，.
所以；
（2），
则的对称轴为，
当，即, 函数在上单调递增，
故在上的最小值为；
当，即时，函数在上单调递减，
故在的最小值为；
当，即时,
函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为.
综上, .
18．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
【答案】(1)7天
(2)
【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可
（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式即可
【详解】（1）释放的去污剂浓度为，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，即；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度，
，当且仅当即等号成立.
所以的最小值为.
19．已知函数．
(1)若，解关于的方程.
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意，，则，
由可整理得，则可得或，
或；
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，整理得在上恒成立，
令，由，则，
又令，，所以是上的减函数，
所以，
故实数的取值范围为.
20．已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数的值；
（2）分析函数在上的单调性令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合可得出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
，
因为函数为偶函数，则，即，
所以，，解得.
（2）由（1）可得
，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，，即，
当时，，则，
所以，，即，
所以，函数在上递减，在上递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，
所以，，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，，此时，；
③当时，恒成立，符合题意．
综上所述，的取值范围是，的取值范围是．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
21．已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设，根据该函数为偶函数可得，根据导函数的图象过点，可得；（2）由（1）可得：根据二次函数的性质分为，和三种情形判断其单调性得其最值.
试题解析：（1）因为二次函数经过原点，可设，又因为为偶函数，所以对任意实数，都有，即，所以对任意实数都成立，故．所以，，又因为导函数的图象过点，所以，解得．所以．
（2）据题意，，即
① 若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．
② 若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．
③ 若，即，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．
22．已知函数（x∈R）为奇函数.
(1)求实数k的值；
(2)若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；
（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；
（3）用换元法，设，由函数单调性求得的范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．
【详解】（1）因为是奇函数，
所以，解得k＝1，
此时符合题意．
（2）原问题即为，，即恒成立，
则，
设，∵，∴，
则，
∵，∴当时，取得最小值26，
要使不等式在上恒成立，则，
即实数m的最大值为26．
（3），
则，
设，当x≥1时，函数为增函数，则，
若在上有零点，
则函数在上有零点，
即，即，
∵，当且仅当时取等号，
∴，即λ的取值范围是．