3、
二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽
∴ ∴ （1）
又 ∽ ∴ ∴ （2）
（1）+（2）
又 ∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形
4、把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH
∵BH=3AH
∴PA：AB=1：2
∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBC
∴
例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可
5、能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
∴
又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴ ∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C
又 BD=DC ∴ ∴
∴ ∽ ∴ 又 DC
6、1 MC=BC
∴ （1）
又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。
3、. 理由？（用三种解法）
1、证明：
过D作DG∥BC交A
7、B于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴ ①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴ ∴ ②由①②得，∴EF×BC＝AC×DF
2、证明：
过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴ PFEC ∵ ∴ ∽∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在和中：CP⊥MN于Q ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∽ ∴ 即 （2）由（1）（2）得
3、
方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。
图（1）
方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC
图（2）
在△BED与△BCD中，
方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。
图（3）
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