10-4--电容器的电容-(2019人教版必修第三册)(解析版).docx

10.4 电容器的电容
考点精讲
考点1：电容器充、放电问题
1．充电过程
电路如图所示。

特点：
（1）有电流，电流方向为流入电容器正极板，电流由大到小。
（2）电容器所带电荷量增加。
（3）电容器两极板间电压升高。
（4）电容器两极板间电场强度增加。
当电容器充电结束后，电容器所在电路中无电流，电容器两极板间电压与充电电压相等。
2．放电过程
电路如图所示。

特点：
（1）有电流，电流方向是从正极板流出，电流由大变小。
（2）电容器所带电荷量减少。
（3）电容器两极板间电压降低。
（4）电容器两极板间电场强度减弱。
当电容器放电结束后，电路中无电流。电容器的放电过程实际上是正、负电荷中和的过程。
【例1】如图所示实验中，关于平行板电容器的充、放电，下列说法正确的是(　　)
A．开关接1时，平行板电容器充电，且上极板带正电
B．开关接1时，平行板电容器充电，且上极板带负电
C．开关接2时，平行板电容器充电，且上极板带正电
D．开关接2时，平行板电容器充电，且上极板带负电
【答案】 A　
【解析】开关接1时，平行板电容器充电，上极板与电源正极相连而带正电，A对，B错；开关接2时，平行板电容器放电，放电结束后上下极板均不带电，C、D错。
【技巧与方法】
充电电流与放电电流
1 电容器两极板间的电介质使两极板之间绝缘，所以充电结束后的电容器相当于断路。
2 而充电过程中电荷由电源定向移动，在两极板上聚集，故电路中有充电电流，而且电流流向正极板。
3 放电时，电容器极板上的电荷减少，有放电电流，且电流从正极板流出。
【针对训练】
【变式1】如图所示，为某一电容器中所带电荷量和两端电压之间的关系图线，若将该电容器两端的电压从40 V降低到36 V，对电容器来说正确的是(　　)

A．是充电过程
B．是放电过程
C．该电容器的电容为5.0×10－2 F
D．该电容器所带电荷量的变化量为0.20 C
【答案】B　
【解析】由Q＝CU知，U降低，Q减小，故为放电过程，A错误，B正确，由C＝＝F＝5×10－3F，C错误；ΔQ＝CΔU＝5×10－3×4 C＝0.02 C，D错误。
【变式2】下列关于电容器的相关知识描述正确的是(　　)

A．图甲为电容器充电示意图，充完电后电容器上极板带正电，两极板间的电压U等于电源的电动势E
B．图乙为电容器放电示意图，放电过程中电流大小保持不变
C．图丙为电解电容器的实物图和符号，图丁为可变电容器及其符号，两种电容器使用时都严格区分正负极
D．图戊中的电容器上有“5.5 V　1.0 F”字样，说明该电容器只有两端加上5.5 V的电压时电容才为1.0 F
【答案】A　
【解析】题图甲为电容器充电过程，电容器上极板与电源的正极相连，故上极板带正电，充完电后两极板间的电压U等于电源的电动势E，故A正确；题图乙为电容器放电过程，若电容器上极板带电荷量为＋Q，则放电过程中通过安培表的电流方向从右向左，且电流逐渐减小，故B错误；题图丙为电解电容器的实物图和符号，图丁为可变电容器及其符号，前者使用时严格区分正负极，后者没有，故C错误；题图戊中的电容器上有“5.5 V 1.0 F”字样，说明该电容器两端电压最大值为5.5 V，而电容与电容器的电压，及电荷量均无关，总是为1.0 F，故D错误。
【变式3】如图所示，为某一电容器中所带电量和两端电压之间的关系图线，若将该电容器两端的电压从40V降低到36V，对电容器来说正确的是（　　）

A. 是充电过程 B. 是放电过程
C. 该电容器的电容为5.0×10﹣2F D. 电容器的电量变化量为0.20C
【详解】试题分析：电容是表示电容器储存电荷能力的物理量，有电容器自身决定；根据C=求解电容，根据C=求解电量的变化．
解：A、由图象可知，电压从40V降低到36V，电容器的电量减小，则属于放电过程，故A错误，B正确；
C、根据图象，当电压为40V时，电量为0.2C，故电容为：C===0.005F=5.0×10﹣3F，故C错误；
D、如果该电容器两端的电压从40V降低到36V，则△Q=C•△U=0.005F×（40﹣36）V=0.02C，故D错误；

故选B．

考点2：对电容的理解
1．两公式C＝与C＝的比较
公式
C＝
C＝
公式特点
定义式
决定式
意义
对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映电容器容纳电荷的本领
平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素
联系
电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定
2. 通过Q­U图像来理解C＝。如图所示，在Q­U图像中，电容是一条过原点的直线的斜率，其中Q为一个极板上所带电荷量的绝对值，U为两极板间的电势差，可以看出，电容器电容也可以表示为C＝，即电容器的电容的大小在数值上等于两极板间的电压增加(或减小)1 V所需增加(或减少)的电荷量。

【例2】一个平行板电容器，使它每个极板所带电荷量从Q1＝3×10－5 C增加到Q2＝3.6×10－5 C时，两极板间的电势差从U1＝10 V增加到U2＝12 V，求这个电容器的电容。如要使两极板电势差从U1＝10 V降到U2′＝6 V，则每个极板需减少多少电荷量？
【解析】　由电容器的电容定义式C＝可知Q＝CU。当电荷量为Q1时，Q1＝CU1。当电荷量为Q2时，Q2＝CU2。显然Q2－Q1＝C(U2－U1)，ΔQ＝CΔU，即C＝＝＝3 μF。
当两极板间电势差降到6 V时，每极板应减少的电荷量为ΔQ ′＝CΔU′＝3×10－6×(10－6) C＝1.2×10－5 C。
【针对训练】
【变式1】如图所示，电源A两端的电压恒为6 V，电源B两端的电压恒为8 V，当开关S从A扳到B时，通过电流计的电荷量为1.2×10－5C，则电容器的电容约为（　　）

A. 2×10－5F B. 1.5×10－6F
C. 6×10－6F D. 8.6×10－7F
【答案】D　
【解析】当开关S接A时，电容器上极板带正电，所带电荷量Q＝CUA，当开关S扳到B时，电容器上极板带负电，所带电荷量Q′＝CUB，该过程中通过电流计的电荷量ΔQ＝Q＋Q′＝C(UA＋UB)＝1.2×10－5 C，解得电容C≈8.6×10－7 F，选项D正确。
【变式2】下列关于电容器及其电容的叙述正确的是（　　）
A. 任何两个彼此绝缘而又相互靠近的导体，就组成了电容器，跟这两个导体是否带电无关
B. 电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和
C. 电容器的电容与电容器所带电荷量成反比
D. 一个固定电容器的电荷量增加时，两板间电压升高10 V，则电容器的电容无法确定
【答案】A
【详解】A.电容器既然是储存电荷的容器，它里面有无电荷不影响其储存电荷的能力，A符合题意；
B.电容器所带的电荷量指任一极板电荷量的绝对值，B不符合题意；
C.电容器的电容由电容器结构决定，不随带电荷量的变化而变化，C不符合题意；
D.由 可求电容器的电容，D不符合题意．
【变式3】（多选）一个电容器的规格是“100 μF　25 V”，对这两个数据的理解正确的是（　　）
A. 这个电容器只有加上25 V电压时，电容才是100 μF
B. 这个电容器储存的电荷量一定为2.5×10－3 C
C. 这个电容器所加电压不能高于25 V
D. 这个电容器所加电压可以低于25 V，但电容不变，总是100 μF（电容器本身不发生变化）
【答案】CD
【详解】一个电容器的规格是“100 μF　25 V”，其中100 μF是电容器的电容，是其本身的属性，不随所加电压的变化而变化，25V是电容器的击穿电压，这个电容器所加电压可以低于25 V，但不能高于25 V，当所加电压小于25V时，这个电容器储存的电荷量小于2.5×10－3 C。
故选 CD。

考点3：平行板电容器的两类动态问题
1．两类情况
（1）平行板电容器两极板始终与电源两极相连(此时板间电压U保持不变)。
（2）电容器充电后与电源断开(此时电荷量Q保持不变)。
2．分析思路

【例3】（多选）如图所示为“研究影响平行板电容器电容的因素”的实验装置，以下说法正确的是（　　）

A. A板与静电计的指针带的是异种电荷
B. 甲图中将B板上移，静电计的指针偏角增大
C. 乙图中将B板左移，静电计的指针偏角不变
D. 丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小
【答案】BD
【详解】试题分析：A板与静电计的指针相连，带的是同种电荷，A错误；平行板电容器的决定式是，定义式是，若将B板竖直向上平移，两极板正对面积减小，根据电容的决定式得知，电容C减小，而电容器的电量Q不变，由电容的定义式分析得到，板间电势差U增大，则静电计指针张角增大B正确;若将B板向左平移，板间距离d增大，根据电容的决定式得知，电容C减小，因电容器的电量Q不变，由电容的定义式知板间电势差U增大，则静电计指针张角增大，C错误;若将电介质插入两板之间，则C增大，U减小，静电计的指针偏角减小，D正确．
【技巧与方法】
1 静电计是在验电器的基础上改造而成的，静电计由相互绝缘的两部分组成，静电计与电容器的两极板分别连接在一起，则电容器上的电势差就等于静电计上所指示的电势差U，U的大小就从静电计的刻度读出，可见，静电计指针的变化表征了电容器两极板电势差的变化。
2 静电计本身也是一个电容器，但静电计容纳电荷的本领很弱，即电容很小，当带电的电容器与静电计连接时，可认为电容器上的电荷量保持不变。
【针对训练】
【变式1】如图所示，A、B为两块竖直放置的平行金属板，G是静电计，开关S闭合后，静电计指针张开一定角度。下述做法可使静电计指针张角增大的是 (　　)

A．使A板向左平移以增大板间距离
B．在A、B两板之间插入一块陶瓷板
C．断开S后，使B板向左平移以减小板间距离
D．断开S后，使B板向上平移以减小极板正对面积
【答案】D　
【解析】开关S闭合，电容器两端的电势差不变，则指针的张角不变，故A、B错误；断开S，电容器所带的电荷量不变当B板向左平移减小板间距，根据平行板电容器的表达式可知电容增大，根据U＝知，电势差减小，则指针张角减小，故C错误；断开S，电容器所带的电量不变，使B板向上平移减小正对面积，电容减小，根据U＝知，电势差增大，则指针张角增大，故D正确。
【变式2】 如图所示，竖直放置的平行板电容器与定值电阻R、电源E相连，用绝缘细线将带电小球q悬挂在极板间，闭合开关 S后细线与竖直方向夹角为θ.则有（　　）

A. 保持开关S闭合，将A板向右平移，θ不变 B. 保持开关S闭合，将A板向左平移，θ变小
C. 断开开关S，将A板向右平移，θ不变 D. 断开开关S，将A板向右平移，θ变小
【答案】BC

【详解】AB．保持开关S闭合，电容器两端的电势差不变，将A板向右平移，d减小，则电场强度增大，带电小球所受电场力增大，根据共点力平衡条件知，θ角变大，反之向左平移A板，θ角变小，故A错误，B正确；
CD．断开开关S，电荷量不变，根据：
C＝
E＝
C＝
联立解得：
E＝＝＝
故电场强度大小与两极板间的距离无关，故电场强度不变，所以移动A板，θ角不变，故C正确，D错误．
【变式3】如图所示，两块水平放置的平行正对的金属板a、b分别与电池两极相连，开始时开关S闭合，发现在距两板距离相等的P点有一个带电液滴处于静止状态，然后断开开关，并将b板向下平移一小段距离，稳定后，下列说法中正确的是（　　）

A. 液滴将加速向下运动 B. 液滴将保持不动
C. P点电势升高，液滴在P点时电势能减少 D. P点电势升高，液滴在P点时电势能增大
【答案】BC
【详解】A、B、液滴受力平衡，故电场力向上，可知液滴带负电；电容器因断开开关后电量保持不变，b板下移时，两板间的距离增大，则由可知，场强E不变；则粒子受到的电场力不变，故液滴继续保持静止，故A错误、B正确.C、D、下极板接地，则P点的电势等于P与b之间的电势差，因E不变，d增大，故液滴处的电势增大；因液滴带负电，故其电势能将减小，故C正确、D错误．故选BC．

◎考点一　电容器充、放电问题
1．某电容器充电后的电压为8 V，然后利用传感器得到放电时电路中电流随时间变化的I­t曲线(如图)。则放电过程中(　　)

A．电容器储存的电能不变
B．电路中的电流不变
C．电容器两极板间的电压不变
D．电容器的电容不变
【解析】D　放电过程是储存的电能转化为其他形式的能，故电能减小，故A错误；由图像可知，放电过程，电流随时间逐渐减小，故B错误；在放电的过程中，电荷量减小，根据C＝＝知，电容不变，则电压逐渐减小，故C错误；电容器的电容是表征储存电荷本领的物理量，与带不带电无关，故电容器的电容不变，故D正确。
2．(多选)电子眼系统通过路面下埋设的感应线来感知汽车的压力。感应线是一个压电薄膜传感器，压电薄膜在受压时两端产生电压，压力越大电压越大，压电薄膜与电容器C和电阻R组成图甲所示的回路，红灯亮时，如果汽车的前、后轮先后经过感应线，回路中产生两脉冲电流，如图乙所示，即视为“闯红灯”，电子眼拍照。则红灯亮时 (　　)

甲　　　　　乙
A．车轮停在感应线上时，电阻R上有恒定电流
B．车轮经过感应线的过程中，电容器先充电后放电
C．车轮经过感应线的过程中，电阻R上的电流先增大后减小
D．汽车前轮刚越过感应线，又倒回到线内，仍会被电子眼拍照
【解析】BD 车轮停在感应线上时，压力不变，则电压不变，电容器不充电，也不放电，电阻R上没有电流，故A错误；由题图乙可知，当车轮经过感应线时，电流先增大后减小，然后再反向增大后减小，因电压是在受压时产生的，故说明电容器先充电后放电，故B正确，C错误；若汽车前轮刚越过感应线，又倒回到线内，则前轮两次压线，仍形成两个脉冲电流，符合拍照条件，电子眼仍会拍照，故D正确。

◎考点二　对电容的理解
3．(多选)如图所示是用来测定角度θ的电容式传感器。当动片与定片之间的角度θ发生变化时，引起极板正对面积S的变化，使电容C发生变化，知道C的变化，就可以知道θ的变化情况。下列说法正确的是(　　)
A．θ变大，则C变大
B．θ变大，则C变小
C．θ变小，则C变大
D．θ变小，则C变小
【解析】BC 由题图知θ变大S变小，C变小；同理，若θ变小，则S变大，C变大，故选项B、C正确。
4.如图所示为一只极距变化型电容式传感器的部分构件示意图。当动极板和定极板之间的距离d变化时，电容C便发生变化，通过测量电容C的变化就可知道两极板之间距离d的变化情况。下列选项能正确反映C与d之间变化规律的图像是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　D
【解析】A　由平行板电容器电容的决定式C＝可知，电容C与两极板之间距离d成反比，在第一象限反比例函数图像是双曲线的一支，选项A正确。
5．(多选)关于电容器和电容的概念，下列说法正确的是(　　)
A．任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体都可以看成是一个电容器
B．用电源对平行板电容器充电后，两极板一定带有等量异种电荷
C．某一电容器带电荷量越多，它的电容就越大
D．某一电容器两板间的电压越高，它的电容就越大
【解析】AB　电容器是容纳电荷的容器，电容是描述电容器容纳电荷本领大小的物理量。电容的大小与电容器带电多少及两极间电压大小都无关。故A、B正确，C、D错误。
6．下列关于电容的说法正确的是 (　　)
A．电容器简称电容
B．电容器A的电容比B的大，说明A的带电荷量比B多
C．电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时电容器带的电荷量
D．由公式C＝知，电容器的电容与电容器两极板间的电压成反比，与电容器所带的电荷量成正比
【答案】C　
【解析】电容器和电容是两个不同的概念，A错误；电容器A的电容比B的大，只能说明电容器A容纳电荷的本领比B强，与是否带电无关，B错误；电容器的电容大小和它所带的电荷量、两极板间的电压等均无关，D错误；由公式C＝可知，电容器的电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时极板上的电荷量，故C正确。

◎考点三　平行板电容器的两类动态问题
7．平行板电容器保持与直流电源两极连接，充电结束后，电容器的电压为U，电荷量为Q，电容为C，极板间的电场强度为E。现将两极板间距离减小，则引起的变化是(　　)
A．Q变大 B．C变小
C．E变小 D．U变小
【解析】A　平行板电容器保持与直流电源两极连接，其电压U保持不变，将两极板间距离d减小，由电容的决定式C＝，分析得知，电容C变大；电荷量Q＝CU，U不变，C变大，Q变大；由E＝分析可知电场强度E变大。故A正确，B、C、D错误。
8．(多选)水平放置的平行板电容器与电源相连，下极板接地。带负电的液滴静止在两极板间P点，以E表示两极板间的电场强度，U表示两极板间的电压，φ表示P点的电势。若电容器与电源断开，保持下极板不动，将上极板稍微向上移到某一位置，则(　　)
A．U变大，E不变，φ不变
B．U不变，E变小，φ降低
C．液滴将向下运动
D．液滴仍保持静止
【解析】AD　电容器与电源断开，则带电量Q不变，保持下极板不动，将上极板稍微向上移到某一位置，则d变大，根据C＝可知C变小，根据Q＝CU可知U变大，由E＝与上述式子联立可得：E＝，则E不变；因P点与下极板的距离不变，根据U＝Ed可知P点与下极板的电势差不变，即P点的电势φ不变，A正确，B错误；由于E不变，则液滴受的电场力不变，则液滴仍保持静止，C错误，D正确。
9．工厂在生产纺织品、纸张等绝缘材料时为了实时监控其厚度，通常要在生产流水线上设置如图所示传感器。其中A、B为平行板电容器的上、下两个极板，上、下位置均固定，且分别接在恒压直流电源的两极上。当流水线上通过的产品厚度增大时，下列说法正确的是(　　)

A．A、B平行板电容器的电容减小

B．A、B两板间的电场强度增大
C．A、B两板上的电荷量变小
D．有电流从a向b流过灵敏电流计
【解析】D　根据平行板电容器的决定式C＝可知，当产品厚度增大时，导致εr增大，电容器的电容C增大，选项A错误；根据Q＝CU可知，极板带电量Q增加，选项C错误；电容器充电，电流从a向b流过灵敏电流计，选项D正确；两板之间的电势差不变，板间距不变，两板间电场强度E＝不变，选项B错误。
10．如图所示，平行板电容器与电源连接，上极板A接地，一带负电的油滴静止于电容器中的P点，现将平行板电容器的下极板B竖直向下移动一小段距离，则(　　)

A．带电油滴所受静电力不变
B．P点的电势将升高
C．带电油滴在P点时的电势能增大
D．电容器的电容减小，极板带电荷量增大
【解析】B　将平行板电容器的下极板竖直向下移动一小段距离，由于电容器两板间电压不变，根据E＝得知板间场强减小，油滴所受的静电力减小，则油滴将向下运动，故选项A错误；板间场强E减小，而P点与上极板间的距离不变，则由公式U＝Ed分析可知，P点与上极板间电势差将减小，而P点的电势低于上极板的电势，则知P点的电势将升高，由带电油滴原来处于平衡状态可知油滴带负电，P点的电势升高，则油滴在P点时的电势能将减小，故选项B正确，C错误；根据电容的定义式C＝知，电容器与电源相连，则U不变，当C减小时，则极板带电荷量Q也减小，故选项D错误。
11．研究与平行板电容器电容有关因素的实验装置如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．实验前，只用带电玻璃棒与电容器a板接触，能使电容器带电
B．实验中，只将电容器b板向上平移，静电计指针的张角变小
C．实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大
D．实验中，只增加极板带电荷量，静电计指针的张角变大，表明电容增大
【分析】通过题图，可以获得以下信息：
(1)平行板电容器电荷量保持不变。
(2)静电计小球与外壳间电压和电容器两极间电压相同。
(3)静电计指针偏角与静电计小球和外壳间电压成正比。
【解析】A　当用带电玻璃棒与电容器a板接触，由于静电感应，从而在b板感应出等量的异种电荷，从而使电容器带电，故选项A正确；根据电容器的决定式C＝，将电容器b板向上平移，即正对面积S减小，则电容C减小，根据C＝可知，电荷量Q不变，则电压U增大，则静电计指针的张角变大，故选项B错误；根据电容器的决定式C＝，只在极板间插入有机玻璃板，则介电系数εr增大，则电容C增大，根据C＝可知，电荷量Q不变，则电压U减小，则静电计指针的张角减小，故选项C错误；根据C＝可知，电荷量Q增大，则电压U也会增大，但电容C不变，故选项D错误。
12．如图所示，一平行板电容器接在U＝12 V的直流电源上，电容C＝3.0×10－10 F，两极板间距离d＝1.2×10－3 m，g取10 m/s2，求：

（1）该电容器所带电量；
（2）若板间有一带电微粒，其质量为m＝2.0×10－3 kg，恰在板间处于静止状态，则该微粒带电荷量为多少？带何种电荷？
【解析】　(1)由题意可得U＝12 V，C＝3.0×10－10 F，
根据公式C＝可得
Q＝CU＝3.0×10－10×12 C＝3.6×10－9 C。
(2)对于平行板电容器的电场有E＝；粒子在电场中受到竖直向下的重力和竖直向上的电场力，所以微粒带负电，根据二力平衡，有mg＝Eq，联立可得q＝＝ C＝2.0×10－6 C。
13. 如图所示，平行板电容器的两个极板A、B水平放置且接在电压为60 V的恒压电源正、负极上，两极板间距为3 cm，电容器带电荷量为6×10－8 C，A极板接地。求：
（1）平行板电容器的电容；
（2）平行板电容器两板之间的电场强度；
（3）距B板2 cm的M点处的电势。

【答案】(1)1×10－9 F；(2)2×103 V/m，方向竖直向下；(3)－20 V
【详解】（1）平行板电容器的电容

（2）两板之间为匀强电场，则

方向竖直向下
（3）M点距A板的距离为

A与M间电势差

又

可得

14. 如图所示，平行板电容器的两板水平正对放置，在两板的正中心上各开一个孔，孔相对极板很小，对两板间电场分布的影响忽略不计。现给上、下两板分别充上等量的正、负电荷，上板带正电、下板带负电，使两板间形成匀强电场，电场强度大小为E=。一根长为L的绝缘轻质硬杆的上、下两端分别固定一个带电金属小球A、B，两球大小相等，且直径小于电容器极板上的孔，A球所带的电荷量QA=-3q，B球所带的电荷量QB=+q，两球质量均为m。将杆和球组成的装置移动到上极板上方且使其保持竖直，使B球刚好位于上板小孔的中心处且球心与上极板在同一平面内，然后由静止释放。已知带电平行板电容器只在其两板间存在电场，两球在运动过程中不会接触到极板且各自带的电荷量始终不变。忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响，两球可以看成质点，电容器极板厚度不计，重力加速度为g。
（1）B球刚进入两板间时，求杆和球组成的装置的加速度大小；
（2）若B球从下极板的小孔穿出后刚好能运动的距离，求电容器两极板的间距d。
‍

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以为AB系统为研究对象，由牛顿第二定律得

解得

（2）从开始到A刚进入两板间有

解得

A进入两板间到B即将穿出下孔，由牛顿第二定律得

解得

由匀变速直线运动的速度位移公式得

B穿出下孔后，由牛顿第二定律得

解得

由匀变速直线运动的速度位移公式得

解得

两板间距
;