第01讲--数列的基本知识与概念(练习)(解析版).docx

第01讲 数列的基本知识与概念
（模拟精练+真题演练）

1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（    ）
A．12 B．13 C．89 D．144
【答案】A
【解析】由斐波那契数列的性质可得：
所以k等于12.
故选:A.
2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列满足，则（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的

（    ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
【答案】C
【解析】因为，
所以

.
故选：C
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列满足，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得，，，，，，
发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，
所以原式的值为，
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得
所以
，
.
故选：D.
7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列，若，则（    ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【解析】由，
令，则，则，
令，则，则.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列是递增数列，且，
则，解得，
故的取值范围是
故选：D
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（    ）
A．已知，则数列是递增数列
B．数列的通项，若为单调递增数列，则
C．已知正项等比数列，则有
D．已知等差数列的前项和为，则
【答案】AD
【解析】对于A中，由，可得，所以数列是递增数列，所以A正确；
对于B中，若数列的通项，
则恒成立，
所以，所以B错误；
对于C中，正项递增的等比数列，若，
可得，此时，
所以C不正确；
对于D中，等差数列的前项和为且，
根据构成等差数列，即构成等差数列，
可得，解得，所以D正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】由题意得：
数列是递减数列
对于一切的恒成立
即对于一切的恒成立
故对于一切的恒成立，当时，有最大值
故，所以
故选：AB
11．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的，由关系式得到的数列满足，则函数的图象不可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由且，即，即函数图象上任意一点都满足，结合选项可知函数的图象不可能是BCD，
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列中的项的值可能为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，
，
，

所以数列是周期为2的数列，
所以数列中的项的值可能为，．
故选：AC．
13．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
14．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，且，则___________．
【答案】
【解析】由，，可得，，，…，
所以是以3为周期的周期数列，
因为，
所以，
故答案为：0．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则______．
【答案】
【解析】由数列满足，且，
可得，，，，，，…，
所以是以4为周期的周期数列，所以．
故答案为：.
16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为是递增数列，所以解得，
故答案为: .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，若存在常数，使得对任意的正整数n都有，则的最小值为______.
【答案】/4.5
【解析】因为，
由已知，所以，，
设，则，，，
所以，，
所以，所以，
故，所以，，，
所以，所以B－A的最小值为，
故答案为：.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】当时，函数严格单调递减，
当时，函数严格单调递增，
所以当时，取到最小值，
因为数列满足，
若，则是数列的最小项，
所以，故实数的取值范围是.
故答案为: .
19．（2023·全国·高三专题练习）知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项．
【答案】4
【解析】解法一：∵，
∴当时，；当时，，
即，故数列的最大项为第4项．
解法二：设数列中的最大项为，则
即解得．
∵∴．故数列的最大项为第4项．
20．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元.
（1）用表示，，并写出与的关系式；
（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值.（精确到0.01）
【解析】（1）由题意得：，
，

.
（2）由（1）得

整理得

由，即，
解得万元 .

1．（2015•上海）若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则　　
A．单调递减 B．单调递增 C．有最大值 D．有最小值
【答案】
【解析】无穷等差数列的首项，公差，
是递减数列，且先正值，后负值；
的前项和为先增加，后减小；
有最大值；
故选：．
2．（2022·全国甲卷·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
5．（2021·全国甲卷·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
6．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
7．（2004·江苏·高考真题）设数列的前n项和为，（对于所有），且，则的数值是___________．
【答案】
【解析】因为，（对于所有），
所以，当时，，
所以，解得.
所以，的数值是
故答案为：
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；   ②为等比数列；
③为递减数列；       ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
9．（2004·浙江·高考真题）如图，的在个顶点坐标分别为，设为线段BC的中点，为线段CO的中点，为线段的中点，对于每一个正整数n，为线段的中点，令的坐标为，．

(1)求及；
(2)证明；
(3)若记，证明是等比数列．
【解析】（1）因为，
所以，，，
， ，
，
因为为线段的中点，所以，
所以，
所以为常数列，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3），
又，
所以是公比为，首项为的等比数列．