3-素养提升课十一-“动态圆”“磁发散与磁聚焦”模型-2024-2025学年高考物理一轮复习.docx

素养提升课十一　“动态圆”“磁发散与磁聚焦”模型
提升点一　 磁场中的三类“动态圆” 模型
考向1　“平移圆”模型
模型
界定
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“平移圆”法
模型
条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示

模型
特点
带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上、且该直线与入射点的连线平行(或共线)
(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直于磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)

A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案：CD
解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，故A错误；不能进入Ⅱ区域的粒子在Ⅰ区域内均做半圆运动，其轨迹为一系列“平移”的半圆，设其中从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，故B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，故C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，故D正确。

考向2　“放缩圆”模型
模型界定
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“放缩圆”法
模型条件
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
学生用书第226页
模型特点

轨迹圆的圆心共线：如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向、以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　)

A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场
答案：AC
解析：如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0，从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0且小于t0，从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0且小于t0，从cd边射出磁场经历的时间一定是t0，故A、C正确。

考向3　“旋转圆”模型
模型界定
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“旋转圆”法
模型条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝
模型特点
轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上

如图为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。

(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
答案：(1)见解析　(2)60°
解析：(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得r＝。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，当粒子的轨迹圆的弦长等于圆形磁场的直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，如图乙所示，则sin＝＝，解得φmax＝60°。

学生用书第227页
提升点二　“磁发散与磁聚焦”模型
在圆形边界的匀强磁场中，如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径，则有如下两个重要结论：
磁发散
磁聚焦
如图甲所示，当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散”。
如图乙所示，当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”。

(2021·湖南高考)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；

(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)。

【审题指导】　(1)知道并会灵活应用“磁发散”与“磁聚焦”两个结论。
(2)找出磁场区域的面积最小的临界条件。
答案：(1)　(2)，垂直于纸面向里　πr
(3)　　r　r
解析：(1)粒子沿x轴正方向垂直进入圆形磁场，“磁聚焦”在坐标原点O，满足“磁聚焦”的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB1＝m，解得B1＝。
(2)粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入，然后平行x轴飞出，为“磁发散”的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图甲所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域，磁场半径为r2，根据qvB2＝m，可知磁感应强度为B2＝
根据左手定则可知磁场的方向为垂直于纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr。

(3)磁场分布如图乙所示

根据qvB＝m可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为
BⅠ＝，BⅢ＝
可知磁场的最小面积为叶子形状(图中阴影部分)
以Ⅱ区域为研究对象，图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周扇形面积与以r3为直角边的等腰直角三角形面积之差，所以阴影部分的面积为
SⅡ＝2×＝r
同理可知Ⅳ区域的阴影部分面积为
SⅣ＝2×＝r。
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对点练．电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：

(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
答案：(1)　(2)
解析：

(1)如图所示，初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P点，为荧光屏上光斑的最高点；初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q点，为荧光屏上光斑的最低点。电子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得ev0B＝m，解得R＝，光斑长度PQ＝R＝。
(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R为半径的圆的阴影部分，其面积大小为
S＝πR2＋R2－πR2＝ 。
课时测评48　“动态圆”“磁发散与磁聚焦”模型
(时间：45分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1～7题，每题6分，共42分)

1．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子，磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力，所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　)
A． B．
C． D．

答案：C
解析：

粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C。
2．(多选)(2024·安徽安庆模拟)一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　)

A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
答案：AD
解析：画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图所示，

当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等且为，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，B、C错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中的最长运动时间小于，故D正确。故选AD。
3．(多选)如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是(　　)

A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有粒子运动的区域面积为πL2
D．所有粒子运动的区域面积为
答案：AD
解析：

由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m，代入数据解得r＝，A正确；粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系有S＝πr2＋π(2r)2－2×＝，C错误，D正确。
4．(多选)(2024·河南开封模拟)如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是(　　)

A．等腰三角形BAC中AB边的长度为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
答案：AB
解析：

依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知sin 45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝m，联立可得＝，故A正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，根据A选项分析，粒子最长轨迹所对应的圆心角为90°，则有t＝T＝，故B正确；从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移r－r，得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，如图所示，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即，故C错误；若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。
5．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)

A． B．
C． D．
答案：C

解析：带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期；当0.5R＜r＜1.5R时，粒子从弧ab上射出，轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从π逐渐增大，当半径为R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角又逐渐减小，因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大，为θm＝π＋＝，粒子最长运动时间为，C正确。
6．(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是(　　)

A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
答案：ACD
解析：对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误；粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜T＝，故选项C、D正确。

7．(多选)如图所示，扇形区域AOB内存在有垂直平面向里的匀强磁场，OA和OB互相垂直是扇形的两条半径，一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开，若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场，则(　　)

A．粒子带正电
B．C点越靠近B点，粒子偏转角度越大
C．C点越远离B点，粒子运动时间越短
D．只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场
答案：AD
解析：

由题意，粒子从A点进入磁场从B点离开，由左手定则可以确定粒子带正电，故A正确；由题意知当粒子从A点入射时，从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径，根据磁汇聚的原理(一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动的半径相同的圆形磁场区域时，这些粒子将从同一点射出圆形磁场)，当入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示，从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点B射出，从图中看出，C点越靠近B点，偏转角越小，时间越短，离B点越远，偏转角越大，时间越长，故D正确，B、C错误。
8．(8分)(2020·浙江7月选考)某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。

(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。
答案：(1)　0.8R　(2)R　(3)见解析
解析：

(1)离子在磁场中做圆周运动qvB＝，可得离子的速度大小v＝。
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界HG边的Q点射出，则由几何关系可得OH＝0.6R，s＝HQ＝＝0.8R。
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O′，从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得HO′＝aH－R＝0.6R，x＝＝0.8R
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别与竖直方向的夹角为β、α，由几何关系可得α＝β
探测到三束离子，则c束中的离子恰好到达探测板的D点时，探测板与边界HG的距离最大，tan α＝＝，则Lmax＝R。
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量pz＝pcos α＝0.8qBR
①当0＜L≤R时，所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力F1＝Np＋2Npz＝2.6NqBR，
②当R＜L≤0.4R时，只有a和b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为F2＝Np＋Npz＝1.8NqBR，
③当L＞0.4R时，只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为F3＝Np＝NqBR。