追及相遇问题专题.doc

追击和相遇问题
1.相遇和追击问题的实质
研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2. 解相遇和追击问题的关键：“两个关系，一个条件”
（1）时间关系 ： （2）位移关系：
（3）速临界条件：
两者速度相等——是物体间能否追上、恰好避免相碰、（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
3. 相遇和追击问题剖析：
(一) 追及问题（设甲追乙，两物体初始时刻相距）
1. 第一类：速度小者加速追速度大者（如做初速度为零的匀加速物体追匀速运动物体）
（1） 两者速度相等前间距在增大，当两者速度相等时有最大距离，之后两者距离减小

（2） 当两者位移满足时，则追上
2. 第二类：速度大者减速追速度小者（如做匀减速直线运动追匀速运动）
（1） 开始追及后，两者间距减小
（2） 当两者速度相等时：
①　 若两者位移差满足，则甲恰好追上乙，且只相遇一次（避免碰撞的条件）
②　 若两者位移差满足，则不能追上，两者存在最小间距为
③　 若两者位移差满足，则会相遇两次
3、分析追及问题的注意点：
⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
⑵若被追赶的物体做匀减速运动一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意图象的应用。
(二)、相遇问题
⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。
⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
4.相遇和追击问题的常用解题方法
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。
（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。
（2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。
（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。
（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解
典型例题分析：
例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
解1：（公式法）
两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
（包含了时间关系）
由A、B 速度关系：
由A、B位移关系：

解2：（图像法）
在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解3：（相对运动法）
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。
（由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。 ）

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。
解4：（二次函数极值法）
若两车不相撞，其位移关系应为

代入数据得：
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
例2.某一长直赛道上有一赛车，其前方=200m处有一安全车正以=10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以的加速度追赶，问：
（1） 赛车经追上安全车之前，从开始运动起经过的多长时间与安全车相距最远？最远距离是多少？
（2） 经过多长时间追上安全车？

变式1.《三维设计》例3一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解1：（公式法）
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

解2：（图像法）
在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
v-t图像的斜率表示物体的加速度

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积

动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律
解3：（相对运动法）
选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0
对汽车由公式 （由于不涉及位移，所以选用速度公式。 ）

对汽车由公式 ： （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。 ）

表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.
解4：（二次函数极值法）
设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

，
思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

变式2.在平直公路上，一辆自行车与同方向行驶的汽车同时经过某点，它们的位移随时间的变化关系是：自行车，汽车，由此可知：
（1） 经过 时间，自行车追上汽车
（2） 自行车追上汽车时，汽车速度是
（3） 自行车追上汽车的过程中，两者的最大距离是
例3.甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v—t图象如图所示，则（ ）
A．乙比甲运动的快
B．2 s乙追上甲
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．乙追上甲时距出发点40 m远

匀变速直线运动追击相遇问题练习
1、甲、乙两车从同一地点同时同向运动，甲做匀速直线运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，经过一段时间，两车相遇．相遇时乙车的速度是甲车的___倍；若再经过相同时间，乙车运动的总路程是甲车的_____倍 ．

2、 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面赶过汽车．则：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之间经t=___s两车相距最远，距离为___m；(2)在t=_____车追上自行车，此时汽车的速度为___m/s．

3、(2010·长沙模拟)如图6所示为三个运动物体的v－t图象，其中A、B两物体从不同地点出发，A、C两物体从同一地点出发，则以下说法正确的是(　　)
A．A、C两物体的运动方向相同
B．t＝4 s时，A、B两物体相遇
C．t＝4 s时，A、C两物体相遇
D．t＝2 s时，A、B两物体相距最远

4、 一辆执勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以V0=8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。警车以加速度a=2做匀加速运动。试问：
（1）警车要多长时间才能追上违章的货车？
（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？

5、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v = 10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。问：
⑴ 警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
⑵ 判定警车在加速阶级能否追上货车（要求通过计算说明）
⑶ 警车发动后要多长时间才能追上货车？

6、一列货车以8m/s的速度在铁路上行驶，在大雾中后面600m处有一列快车以20m/s的速度在同一轨道上行驶，快车司机赶快合上制动器，但快车要滑行2000m才停下来，试判断两车会不会相撞．

7.（2009年海南物理卷8）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图像如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为1和2（2>1）初始时，甲车在乙车前方0处。则（ ）
A．若0=1+2，两车不会相遇
B．若0<1，两车相遇2次
C．若0=1，两车相遇1次
D．若0=2，两车相遇1次

v
t
t1
O
P
Q
甲
乙
8.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图所示．两图象在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，ΔOPQ的面积为S．在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是 （ ）
A．t′＝t1，d＝S B．
C． D．

9.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（ ）
A． A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能再次相遇

10．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：（ ）
A．s 　 B．2s 　 C．3s 　 D．4s