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第五节 实验：测定电源的电动势和内阻
【要点归纳】
一、伏安法测电池电动势和内阻
1、实验步骤
(1)电流表用0～0.6 A量程，电压表用0～3 V量程，按实验原理图连接好电路．

(2)把滑动变阻器的滑片移到一端，使其阻值最大．
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显的示数，记录一组数据(I1、U1)．用同样的方法测量几组I、U值．
(4)断开开关，整理好器材．
(5)处理数据，用公式法和作图法这两种方法求出电池的电动势和内阻．
2．实验数据的处理
(1)求平均值法：由E＝U1＋I1r，E＝U2＋I2r可解得E＝，r＝.
可以利用U、I的值多求几组E、r的值，算出它们的平均值．
(2)作U－I图象法
①本实验中，为了减少实验误差，一般用图象法处理实验数据，即根据多次测出的U、I值，作U－I图象；

②将图线两侧延长，纵轴截距点意味着断路情况，它的数值就是电池电动势E；
③横轴截距点(路端电压U＝0)意味着短路情况，它的数值就是短路电流；
④图线斜率的绝对值即电池的内阻r，即r＝＝，如图4所示．
3．注意事项
(1)为使电池的路端电压有明显变化，应选取内阻较大的旧干电池和内阻较大的电压表．
(21)实验中不能将电流调得过大，且读数要快，读完后立即切断电源，防止干电池大电流放电时内阻r的明显变化．
(3)当干电池的路端电压变化不很明显时，作图象时，纵轴单位可取得小一些，且纵轴起点可不从零开始．

如图所示，此时图线与纵轴交点仍为电池的电动势E，但图线与横轴交点不再是短路电流，内阻要在直线上取较远的两点用r＝||求出．
4．误差分析
(1)偶然误差．
①由读数不准和电表线性不良引起误差．
②用图象法求E和r时，由于作图不准确造成的误差．
③测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化．
(2)系统误差：由于电压表和电流表内阻影响而导致的误差．
Ⅰ.对图甲，设通过电源电流为I真，电流表读数为I测，电压表内阻为Rv，电压表读数为U，电压表分流为Iv，由电路结构，I真＝I测＋Iv＝I测＋，U越大，Iv＝越大，U趋于零时，Iv＝也趋于零．它们的关系可用图乙表示，由测量数据画出的图线为AB线．根据修正值，图线上每点电压对应电流的真实值大于测量值，作出修正之后U－I的图线为CB线．

结论：
①当电压表示数为零时，Iv＝0，I测＝I短，短路电流测量值＝真实值．
②E测真．
Ⅱ.对图甲，设电源电压为U真，电压表读数为U测，电流表内阻为RA，电流表读数为I，电流表分压为UA.由电路结构U真＝U测＋UA＝U测＋IRA，所以在U－I图象上对应每一个I值应加上一修正值UA＝IRA.由于RA很小，当I很小时，UA趋于零，I增大，UA也增大．理论值与实验值的关系如图乙所示．AB为由测量数据画出的U－I图线，AC为修正之后的U－I图线．比较图线可知E测＝E真，r测＞r真．

电流表内接实验电路产生的相对误差也可以根据等效电源的方法进行定量计算，电流表看成内电路的一部分．如图丙虚线框所示，内阻的测量值，即等效电源的内阻为电源内阻和电流表内阻之和r测＝r真＋RA>r真，相对误差为.因为RA与r真接近甚至大于r真，所以，相对误差很大，远远超出实验误差允许范围，内阻的测量已没有意义．
当然对于低压电源而内阻值几千欧的水果电池而言，其相对误差则较小，这时却要选择此实验电路了．

结论：
①E为真实值．
②I短测r真，r测为r真和RA的串联值，由于通常情况下电池的内阻较小，所以这时r测的测量误差非常大．
二、安阻法测电池电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图所示．

2．实验器材:电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理:(1)计算法：由，解方程组求得E，r.
(2)图象法：由E＝I(R＋r)可得
①＝R＋，可作－R图象(如图甲)
－R图象的斜率k＝，纵轴截距为
②R＝E·－r，可作R－图象(如图乙)
R－图象的斜率k＝E，纵轴截距为－r.

4．误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致内阻测量不准确；
(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋rA)．
由E＝IR＋Ir可知，只要能得到I、R的两组数据，列出关于E、r的两个方程，就能解出E、r，用到的器材有电池、开关、电阻箱、电流表，电路图如图所示．

三、伏阻法测电池电动势和内阻
1．实验原理：闭合电路欧姆定律E＝U＋r，电路图如图所示．

2．实验器材：电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理：(1)计算法：由，解方程组可求得E和r.
(2)图象法：由E＝U＋r得：＝＋·.故－图象的斜率k＝，纵轴截距为，如图所示.

4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测＜E真，r测＜r真．
【夯实基础练】
1．(2022•北京市北师大附属实验中学高三(下)零模)系统误差是由于实验原理等原因而产生的误差，它的数值总是向某一个方向偏离真实值。在 “测电源电动势和内阻”实验中由于电表的内阻所产生的误差即为系统误差。关于该系统误差产生原因以及影响，以下正确的是(　　)

A．电流表分压；测得的电源电动势偏小，内阻偏小
B．电流表分压；测得的电源电动势偏大，内阻偏大
C．电压表分流；测得的电源电动势偏小，内阻偏小
D．电压表分流；测得的电源电动势偏大，内阻偏大
【解析】 伏安法测电阻相对于电源来说采用电流表外接法，由于电压表分流作用，电流表测量值偏小，当外电路短路时，电流测量值等于真实值，电源的U-I图象如图所示，由图象可知，电动势测量值小于真实值，电源内阻测量值小于真实值，故C正确；ABD错误。故选C。

【答案】 C
2．(2022•辽宁省辽阳市高三(下)二模)学校物理兴趣小组为了测定某金属探测仪的电池的电动势(左右)和内阻(左右)，设计了如图甲所示的电路，允许通过电池的最大电流为，为定值电阻，R为电阻箱．

(1)实验室备有的保护电阻有以下几种规格，本实验应选用_________；
A． B． C．
(2)该小组首先正确得出与的关系式为___________(用E、r、和R表示)，然后根据测得的电阻值R和电压表的示数U，正确作出图像如图乙所示，则该电池的电动势________V，内阻____________。
【解析】 (1)[1]当变阻箱短路时，电路中通过的最大电流为100mA，则由闭合电路欧姆定律可知，定值电阻的最小阻值约为，所以定值电阻应选的，故选B。
2)[2] 由闭合电路欧姆定律可得，变形得，由数学知识可知，图象中的截距，斜率，解得，
【答案】 ①B ② ③10 ④
3．(2022•上海师范大学附属中学高三(下)第二次月考)如图所示是研究电源电动势和电路内、外电压关系的实验装置。电池的两极A、B与电压表V2相连，位于两个电极内侧的探针a、b与电压表V1相连，R是滑动变阻器，电流表A测量通过滑动变阻器的电流，置于电池内的挡板向上移动可以使内阻减小。当电阻R的滑臂向左移动时，电压表V2的示数_______________(选填“变大”、“变小”或“不变”)。若保持滑动变阻器R的阻值不变，将挡板向上移动，则电压表V1的示数变化量ΔU1与电流表示数变化量ΔI的比值_______________。(选填“变大”、“变小”或“不变”)

【解析】 [1]根据题意，电压表测量是电源的内电压，电压表测量是路端电压，由闭合电路欧姆定律：，可知，当电阻的滑臂向左移动时外电阻减小，总电流增大，由：，可知内电压变大，故电压表2的示数变小；
[2]因电源电动势等于电源内外电路之和，故电压表1和电压表2的示数之和不变；若保持滑动变阻器的阻值不变，将挡板向上移动，则电源的内电阻将减小，根据，结合数学推理可知：，所以电压表1的示数变化量与电流表示数变化量的比值大小等于电源的内阻，由于挡板向上运动时，液体的横截面积变大，根据电阻定律：，可知内电阻减小，故比值变小。
【答案】 ①变小 ②不变
4．(2022•成都石室中学高三(下)专家联测卷(四))学习小组准备测某型号电池的电动势和内阻。已知电池电动势约为12V，内阻约3Ω，直流电压表(量程为3V，内阻约2kΩ)，电流表(量程为3A，内阻为3Ω)。需要将这只电压表通过连接一固定电阻(用电阻箱代替)，改装为量程为15V的电压表，然后再用伏安法测电池的电动势和内阻，以下是他们的实验操作过程：

(1)扩大电压表量程，实验电路如图甲所示，实验步骤如下，完成填空。
第一步：按电路图连接实物
第二步：把滑动变阻器滑片移到最右端，把电阻箱阻值调到零
第三步：闭合开关，把滑动变阻器滑片调到适当位置，使电压表读数为3V
第四步：把电阻箱阻值调到适当值，使电压表读数为0.6V
第五步：不再改变电阻箱阻值，保持电压表和电阻箱串联，撤去其他线路，即得量程为15V的电压表。
实验中电阻箱和滑动变阻器可供选择的器材有：
A．电阻箱(阻值范围0～9999Ω) B．电阻箱(阻值范围0～999Ω)
C．滑动变阻器(阻值为0～30kΩ) D．滑动变阻器(阻值为0～30Ω)
电阻箱应选___________，滑动变阻器应选___________。
(2)用扩大了量程的电压表，通过电路图______选填乙或丙)测电池电动势E和内阻r并得到多组电压U和电流I的值，并做出U-I图线如图丁所示，可知电池的电动势为___________V，内阻为___________Ω。(结果均保留1位小数)
【解析】 (1)[1]改装为量程为15V的电压表，则电阻箱电阻要达到，故，即可得电阻箱的电阻为，故选A。
[2]因为滑动变阻器是分压式接法，故选最大阻值较小的滑动变阻器，故选D。
(2)[3]因为电流表的阻值为3Ω，即电流表的电阻已知，故用电流表外接法，选丙；
[4][5]电压表量程扩大5倍，则有，即，由图像可知，则有，又，得，则
【答案】 ①A ②D ③丙 ④12.0 ⑤2.6
5．(2022•银川一中高三(下)一模)某同学为测定电源的电动势E和内阻r，从实验室找来电键、定值电阻R0。电流表(内阻不计)、一根均匀电阻丝(配有可在电阻丝上移动的金属夹)和导线若干。因缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，他找到了一个绝缘的圆形时钟表盘。他将电阻丝绕在表盘上，用改变圆心角θ(以rad为单位)的方法改变接入电路中的电阻丝长度。实验方案如下：
先将器材连成如图(1)，后将金属夹从b端开始不断改变位置，闭合电键后记录每次从a到金属夹位置所对应的圆心角θ和电流表示数I，最后将数据描在坐标纸上、绘得如图(2)所示图线，已知a、b间单位角度对应电阻丝的阻值为r0则∶图(2)对应的的函数关系为__________(用R0、r0、E、r、θ表示)；若已知r0 = 3Ω/rad，R0 = 2Ω，则由(2)图可求得电源的电动势E = _____________V；内阻r = ___________。(保留两位有效数字)

【解析】 [1]依题意，根据闭合电路欧姆定律可得E = I(r + θr0 + R0)，变换可得
[2][3]由图(2)知图线的斜率，纵截距，代入r0 = 3Ω/rad，R0 = 2Ω，可求得电源电动势和内阻为E = 6.0V，r = 4.0Ω
【答案】 ① ②6.0 ③4.0
6．(2022•辽宁省协作体高三(下)一模)在测量一节干电池的电动势E和内阻r的实验中，小明设计了如图甲所示实验电路。

(1)根据图甲实验电路，请在图乙中用笔画线代替导线，完成实物电路的连接____.
(2)实验开始前，应先将滑动变阻器的滑片P移至a端.
(3)合上开关S1，S2接图甲中的1位置，改变滑动变阻器的阻值，记录下几组电压表示数和对应的电流表示数；S2改接图甲中的2位置，改变滑动变阻器的阻值，再记录下几组电压表示数和对应的电流表示数.在同一坐标系内分别描点作出电压表示数U和对应的电流表示数I的图象，如图丙所示，两直线与纵轴的截距分别为UA、UB，与横轴的截距分别为IA、IB。
①S2接2位置时，作出的U－I图线是图丙中的________(选填“A”或“B”)线；②S2接2位置时，测出的电池内阻r存在系统误差，原因是电流表________，利用图像进行误差的修正后，电池的内阻r=________(用UA、UB、IA、IB中两个量表示)
【解析】 (1)[1] 根据图甲实验电路可知，实物连线图如图所示

(3)①[2] 当接2位置时，可把电流表与电源看作一个等效电源，根据闭合电路欧姆定律，可知电动势测量值等于真实值，图线应是A线，即
②[3]S2接2位置时，测出的电池内阻r存在系统误差，原因是电流表分压。
[4]当接2位置时，可把电流表与电源看作一个等效电源，根据闭合电路欧姆定律，可知电动势测量值等于真实值，图线应是A线，即，由于接1位置时，图线的B线对应的短路电流为，所以
【答案】 ① ②A ③分压 ④
7．(2022•辽宁省实验中学、东北育才学校等五校高三(上)期末联考)电动自行车采用充电电池供电提供动力。已知这个电池的电动势约为，内阻小于。
(1)由于直流电压表量程只有，需要将这只电压表通过连接一固定电阻(用电阻箱代替)，改装为量程为的电压表。利用如图甲所示的电路，先把滑动变阻器滑片移到最右端，把电阻箱阻值调到零。闭合开关，把滑动变阻器滑片调到适当位置，使电压表读数为。然后把电阻箱阻值调到适当值，使电压表读数为__________V，不再改变电阻箱阻值，保持电压表和电阻箱串联，撤去其他线路，电压表与电阻箱组合即构成量程为的新电压表。若读得电阻箱阻值为，则量程为的电压表内阻为_________。

(2)实验室提供：
A．滑动变阻器(阻值为，额定电流)
B．滑动变阻器(阻值为，额定电流)
在图乙所示电路中滑动变阻器应选_____________(填写仪器前字母代号)。
(3)用该扩大了量程的电压表(电压表的表盘没变)，测电池电动势E和内阻r，实验电路如图乙所示，通过观察表盘读数，得到多组电压U和电流I的值，并作出图线如图丙所示，可知电池的电动势为________V，内阻为___________。
【解析】 (1)[1]把3V的直流电压表接一电阻箱，改装为量程为15V的电压表时，将直流电压表与电阻箱串联，整个作为一只电压表，据题分析，电阻箱阻值调到零，电压表读数为3V，则知把电阻箱阻值调到适当值，使电压表读数为
[2]若读得电阻箱阻值为，则量程为的电压表内阻为
(2)[3]在分压电路中，为方便调节，滑动变阻器选用阻值较小的，即选A；
(3)[4][5]由丙读出，外电路断路时，电压表的电压为U=2.3V，则电源的电动势为E=2.3×5=11.5V，内阻为
【答案】 ①0.6 ② ③A ④11.5 ⑤2.5
8．(2022•辽宁省名校联盟高三(下)3月联合考试)某实验小组用图甲所示电路测量一节干电池的电动势和内阻。实验器材如下：
干电池(电动势约为，内阻约为)；
电压表V(量程，内阻不是足够大)；
电流表A(量程，内阻约为)；
滑动变阻器(阻值)；
电阻箱(最大阻值)；
单刀单掷开关K、单刀双掷开关S，导线若干。

请回答下列问题：
(1)按照电路图连接好实物图。将滑动变阻器和电阻箱阻值调到合适的数值。
(2)单刀双掷开关S置于位置1，闭合单刀单掷开关K，调节滑动变阻器滑片的位置使电压表的示数为零。断开开关K，然后把单刀双掷开关S置于位置2，把电阻箱的阻值调到。闭合开关K，电流表A、电压表V的读数如图乙所示，则图中电流表的读数为______A，电压表的读数为______V。
(3)为了减少由于电表内阻带来的实验误差，将单刀双掷开关S置于位置1，把电阻箱的阻值调到0。
(4)调节滑动变阻器，测得多组数据后作出电源的路端电压U与通过电源电流I的关系如图丙所示，则根据图像可以求得电源电动势______V，电源内阻______Ω。(结果均保留3位有效数字)
【解析】 (1)[1]电流表量程为，最小分度为，则读数为
[2]电压表量程为，最小分度为，故读数为
(2)[3][4]根据闭合电路欧姆定律有，可知图线的纵截距表示电源电动势，则有，电流表的内阻，图线斜率的绝对值表示电源的内阻和电流表的内阻之和，则有
【答案】 ①0.050 ②1.40 ③1.48 ④1.64(1.61~1.64)
9．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三(下)开学考试)一兴趣小组要测一节干电池的电动势(约1.5V)和内阻(小于1Ω)，借助以下实验器材进行实验。
A.毫安表mA(量程0~600mA，内阻约为0.1Ω)；
B.微安表G(量程0~400µA，内阻为100Ω)；
C.滑动变阻器R1(0~20Ω)；
D.滑动变阻器R2(0~1kΩ)；
E.电阻箱R(0~9999.9Ω)；
F.定值电阻R01(阻值为2.50Ω)；
G.定值电阻R02(阻值为10.00Ω)；
H.开关、导线若干。
(1)将微安表G改装为量程2V的电压表，该小组应将电阻箱调到的阻值为_____Ω。
(2)该小组设计电路原理图如图1所示，则应该选择的滑动变阻器为_______，定值电阻为_______(填器材对应的符号)。
(3)请写出定值电阻在实验中所起的两个作用：_____________________________。
(4)该小组根据记录的数据，作出微安表G的示数I1随毫安表mA的示数I2变化的图像如图2所示，则该节干电池的电动势E=____V，内阻r=____Ω。(保留2位小数)

【解析】 (1)[1] 将微安表G改装为量程2V的电压表，当微安表满偏时，微安表和电阻箱两端电压之和应为2V，有，解得
(2)[2][3]为操作方便，滑动变阻器选择阻值范围较小的。为保证测量的精确度，用于增大改装后的电压表电压的变化范围的定值电阻不宜过大，故选。
(3)[4] 定值电阻有保护电路和增大改装后的电压表电压的变化范围的作用。
(4)[5][6]根据闭合电路欧姆定律有，整理得，结合图像可知，，解得E=1.44V，
【答案】 ①4900 ② ③ ④保护电路，增大改装后的电压表电压的变化范围 ⑤1.44 ⑥0.50