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1、 专题18 机械振动 目录 题型一 简谐运动的基本特征及应用 1 类型1 简谐运动基本物理量的分析 1 类型2 简谐运动的周期性与对称性 4 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 6 题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用 11 题型三 单摆及其周期公式 17 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 17 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 22 题型四 受迫振动和共振 26 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 26 类型2 共振曲线的应用 28 类型3 “驱动摆”的分析 30 题型一 简谐运动的基本特征及应用 对简谐运动的理解 受力特点 回
2、复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特点 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′
3、所用时间，即tPO＝tOP′ (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反 类型1 简谐运动基本物理量的分析 【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习） 如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ） A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势
4、能先增大后减小 B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ） A．弹簧振子的振幅是10cm B．当振子运动到B时，位移大小是10cm C．弹簧振子的周期是1s D．振子由O运动到B的过程中速度减小 【例3】（2023春
5、·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ） ①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ） A．若位移为负值，则加速度一
6、定为负值 B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 类型2 简谐运动的周期性与对称性 【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ） A．秒 B．秒 C．1.4秒 D．1.6秒 【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历
7、时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（ ） A．1Hz B．1.25Hz C．2Hz D．2.5Hz 【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ） A．3s， B．4s， C．4s， D．2s， 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地
8、面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．振幅为 B．小球的最大加速度为g C．小球的最大速度为 D．弹簧的最大弹性势能为 【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
9、 A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于 B．铁块振幅的最大值是 C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg D．铁块运动的最大速度为 【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水平面夹角，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ） A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mgl
10、 B．弹簧的劲度系数 C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变 D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点 【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ） A．弹簧的最大弹性势能为 B．小球的最大动能一定小于 C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变 D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为 题型二 简谐运动的表达
11、式和图像的理解和应用 1．由图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 2．简谐运动的对称性(如图) (1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，
12、位移和速度都相同。 (2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。 【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题： (1)振动的振幅； (2)振动的频率； (3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向； (4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置； (5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置； (6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。 (7)振动质点离开平衡位置的最大距离； (8)写出此振动质
13、点的运动表达式； (9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程； (10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向； (11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？ (12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？ 【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触
14、薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ） A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度 B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大 C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大 D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为 【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为m，时间的单位为s，则（ ） A．弹簧振子的振幅为0.2m B．弹簧振子的周期为1.25s C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0 D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，
15、则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍 【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ） A．小球振动的周期为3s B．小球振动的振幅为20cm C．5s末小球的位移为0 D．小球的位移—时间关系为 【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．弹簧在第1
16、s末与第3s末的长度相同 B．简谐运动的角频率ω＝rad/s C．第3s末振子的位移大小为A D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化 【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习） 如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ） A．完成一次全振动的时间为5s B．在一个周期内运动路程为32cm C．在第1s末和第3s末时的速度相同 D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能 题型三 单摆及其周期公式 1．单摆的受力特征
17、1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 (2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力， F向＝FT－mgcos θ。 (3)两点说明 ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝m，F向最大，FT＝mg＋m。 2．周期公式T＝2π的两点说明 (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程
18、进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ） A．单摆周期为 B．单摆摆长为 C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变 【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ） A．摆长为 B．摆长为 C．摆球向心加速度的最大值为 D．摆球向心加速度的最大值为 【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m
19、当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。 （1）在很小时，（其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动； （2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式； （3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。 【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲
20、线。已知摆长为，A、B之间的最大摆角为（取，）。求： （1）当地的重力加速度大小； （2）摆球在A点时回复力的大小； （3）摆球运动过程中的最大动能。 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ） A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置 B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小 C．时，摆球的位移为m D．时，摆球的速度方向与加速度方向相反 【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在两点之间做简谐运动，
21、 点为平衡位置，如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（ ） A．单摆的振幅为 B．单摆的摆动频率为 C．时，摆球在点 D．单摆的摆长为 【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2:3 C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零 D．在t=1.8s时刻，振动方向相反 【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径的光滑圆弧面，直边，圆弧边
22、AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度，则v的大小约为（ ） A．0.5m/s B．1.0m/s C．1.5m/s D．2.0m/s 【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图甲所示。时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图乙所示。求： （1）两单摆摆长之比； （2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。 题型四 受迫振动和共振 1．简谐运动、受迫
23、振动和共振的关系比较 振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 2.对共振的理解 (1)共振曲线：如图所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。 (2)做受迫振动的系统机械
24、能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查) 如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( ) A．小球振动的固有频率是4 Hz B．小球做受迫振动时周期一定是4 s C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大 D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小 【例
25、2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( ) A．提高输入电压 B．降低输入电压 C．减小筛子质量 D．减小筛子质量 【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落
26、下的两种装置，如图甲、乙所示．则( ) A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 类型2 共振曲线的应用 【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．此单摆的固有周期约为2 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
27、E．此单摆的振幅是8 cm 【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0 B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0 C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同 D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0 【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮转速
28、继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω0，在这一过程中（ ） A．机器不一定会发生强烈振动 B．机器一定会发生强烈振动 C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω0 D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω0 类型3 “驱动摆”的分析 【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ） A．
29、a、b、c单摆的固有周期关系为T=T 30、确的是（ ）
A．驱动摆只把振动形式传播给其它单摆，不传递能量
B．如果驱动摆的摆长为L，则其它单摆的振动周期都等于
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大
【例4】．（2021·全国·高三专题练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s
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