6-2-3&6-2-4-组合与组合数2022-2023学年高二数学同步讲与练(精讲)(原卷版).docx

6.2.3&6.2.4 组合与组合数

一、组合
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。
3、对组合概念的两点说明：
（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；
（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。
二、组合数与组合数公式
1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
2、组合数公式：（，且）
3、组合数的性质：
（1）； （2）； （3）规定
三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法
1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。
2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。
四、排列与组合的相同点与不同点
1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”
2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。

题型一 组合的概念及其判断
【例1】（2021·高二课时练习）（多选）下面四组元素，是相同组合的是（ ）
A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d

【变式1-1】（2022·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）以下5个命题，属于组合问题的有（ ）
①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-3】（2022·高二单元测试）（多选）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法

题型二 组合数的简单计算
【例2】（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．

【变式2-1】（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）计算：______．

【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）计算：．

【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）计算：________．

题型三 证明组合数恒等式
【例3】（2022春·福建泉州·高二校联考期中）下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．

【变式3-1】（2022春·山东青岛·高二青岛大学附属中学校考期中）（多选）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．

【变式3-2】（2022·全国·高二专题）证明：．

【变式3-3】（2022·全国·高二）求证：．

题型四 解组合数方程与不等式
【例4】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）已知，则x=（ ）
A．3或10 B．3 C．17 D．3或17

【变式4-1】（2022·全国·高二专题练习）已知则x＝______.

【变式4-2】（2022春·青海·高二统考期末）方程的根为______．

【变式4-3】已知 求的值构成的集合

题型五 组合的简单应用
【例5】（2023秋·江西上饶·高二统考期末）为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（ ）
A． B． C． D．

【变式5-1】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．18种

【变式5-2】（2022·全国·高二专题练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A． B． C． D．

【变式5-3】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）若方程：，则方程的正整数解的个数为___________.