高三开学摸底考试卷02(新高考Ⅱ卷变式卷)(解析版).docx

高三开学摸底考试卷02（新高考Ⅱ卷变式卷）
一． 选择题
1．（2023春•信阳月考）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】设，
则，
因为，
所以，
所以，，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
2．（2023•2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则　　
A． B． C．1 D．3
【解析】集合，3，，，，，，，，
，
解得．
故选：．
3．（2023春•重庆期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有　　
A．240种 B．36种 C．120种 D．360种
【解析】把乐”和“书”两门课程看作一个元素，则有种不同的排课顺序．
故选：．
4．（2022秋•甘谷县期末）已知，，则（3）的值为　　
A． B．13 C．7 D．
【解析】根据题意，设，
则，
则函数为奇函数，
又由，则，
则（3）（3），
则（3），
故选：．
5．（2023•湖滨区三模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当时，则；
当时，则；
所以推不出，充分性不成立；
当时，则，必要性成立；
综上：“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
6．（2023春•利州区校级期中）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
【解析】由题意得，函数定义域为，
函数有三个单调区间，
有两个不相等的实数根，
，即实数的取值范围是．
故选：．
7．（2023春•江西月考）已知是第二象限角，且，则　　
A．2 B． C． D．
解析】，
，可得：，整理可得：，
解得：，或，
是第二象限角，
，，
，故．
故选：．
8．（2023•大兴区校级模拟）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：
①数列中任意一项均不为0；
②数列中必有一项为0；
③数列中一定不可能出现；
④数列中一定不可能出现．
其中正确的命题个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】对于①，例如，
当时，，故①不正确；
对于②，例如，则恒成立，故②不正确；
对于③，由①，
，故③不正确；
对于④，若，
则，
即，
因为，所以，
由，
所以数列中一定不可能出现，故④正确；
故选：．

二． 多选题
9．（2023春•宁波期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在线段（不包含端点）上运动，记二面角的大小为，二面角的大小为，则　　

A．异面直线与所成角的范围是
B．的最小值为
C．当的周长最小时，三棱锥的体积为
D．用平面截正方体，截面的形状为梯形
【解析】对于，因为，
所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角，

又，
所以△为等边三角形，
因为点在线段（不包含端点）上运动，
所以当为线段的中点时，，
此时异面直线与所成角为，
当点趋近或时，异面直线与所成角趋近，
所以异面直线与所成角的范围是，选项正确；
对于，过点作，，

因为平面，
所以平面，
过点作，，垂足为，，
所以为二面角的平面角，为二面角的平面角，
故，，
设，则，，，
所以，，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以当时，取最小值，最小值为，选项正确；
对于，延长到点，使得，则，

所以，
当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以当点为线段与的交点时，的周长最小，
因为，
所以△，
所以，
又，
所以，
所以的面积，
又，，，，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为，
所以当的周长最小时，三棱锥的体积为，选项错误；
对于，延长，，两直线交于点，连接，

设，，连接，，
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又，
所以四边形为梯形，
所以用平面截正方体，截面的形状为梯形，正确．
故选：．
10．（2023•安徽二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与交于，两点，且，，若过点，分别作的两条切线交于点，则　　
A． B．
C． D．以为直径的圆过点
【解析】因为抛物线的焦点到准线得距离为4，
所以，
所以抛物线的方程为，
设，，，，
由可知为的中点，
所以且，，
由，可得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，可得，
所以，
对函数求导可得，
所以切线的方程为，
即，①
同理可知，切线的方程为，②
联立①②，解得，，
所以，
抛物线的焦点，
对于，故正确；
对于：直线的方程为过点，
所以，故错误；
对于，，
所以，
所以，故正确；
对于：因为，且为的中点，
所以，
所以以为直径的圆过点，故正确，
故选：．
11．（2023•昌江县二模）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间，上的极小值点
【解析】由图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．
故选：．
12．（2023春•思明区校级期末）某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，第三车间的次品率为，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有　　
A．取出的该件是次品的概率约为0.012
B．取出的该件是次品的概率约为0.016
C．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5
D．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4
【解析】取第一车间的产品数为300件，第二车间的产品数为200件，第三车间的产品数为300件，
所以共有次品件，
则任取一件为次品的概率，
取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为，
故选：．
三．填空题
13．（2022春•成都期末）已知向量，，其中，．若，则的值为 　　．
【解析】向量，，，
，，，
，，
，
故答案为：4．
14．（2023春•辽宁月考）某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为 　　．

【解析】正六边形的底面边长为4，．
正六棱柱形的工件的表面积为定值，
要使工件加工后的表面积最大，则取得最大值，
令（a），
则当，时，（a）取得最大值，此时加工后的工件体积为：．
故答案为：．
15．（2023•江西二模）圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点在内），线段上有一点使，则的坐标为 　　．
【解析】因为，，是过点的圆的切线，
所以的方程为，即，
又过作斜率为1的直线，
所以直线的方程为，
设直线与线段交于点，
联立直线和直线的方程得，解得，
即点的坐标为，
当点在左，点在右，如图所示，
可知，
当时，
则，
作的平分线，交于于第三象限一点，则直线过点，
则
因为点坐标为，
所以直线的方程为，
直线的方程与方程联立，，得出点坐标为，
直线的方程与方程联立，，解得，
因为在内，所以点坐标为，
所以，
设直线的斜率为，
因为，
所以，即，
解得，
联立直线与直线的方程得：，
解得，代入得，
则点的坐标为，
同理可得点当点在左，点在右，得出点的坐标为．
故答案为：．

16．（2022秋•合肥期末）已知函数的最小正周期为，其图象过点，则　　．
【解析】由题意得，，，
所以，，
所以，
故．
故答案为：．
四．解答题
17．（2023•大埔县三模）在中，内角，，的对边分别为，，、且．
（1）求；
（2）若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
【解析】（1）由，可得，
，，，
．
（2）设，，根据题意有．
，，
由余弦定理得，
，当且仅当时取等号，
的最小值．
18．（2023春•龙泉驿区月考）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求的前100项和．
【解析】（1）当时，，
，
，
由①可知，
当时，②，
①②得：，
即，
因为数列各项均为正数，
所以，
又因为，
所以数列为等差数列，公差、首项均为1，
所以．
（2）由得，，
，
；
令，
则．
19．（2023•秀英区校级三模）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在，的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在，的加盟店评定为“五星级”加盟店．
（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到；
（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；
（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级“加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
参考数据：若，则，，．

【解析】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，，，，，，，，的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，
估计这50个加盟店日销售额的平均数为：
（百元），
，，
中位数在，内，设中位数为百元，
则，解得．
估计中位数为13百元．
（2）由（1）知，
，，
，
估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．
（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个，
“五星级”加盟店有（个，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
的概率分布列为：

0
1
2
3

．
20．（2023春•上高县校级月考）如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若四边形为正方形，平面，，求二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：连接，因为几何体为四棱台，
且，所以且，
又点为棱的中点，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形．所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，1，．
设平面的一个法向量为，，，因为，，，，1，，
由，得，令，得，，
所以平面的一个法向量为，2，，
易知平面的一个法向量为，0，，
因为，，所以二面角 的余弦值为．
21．（2023秋•松江区期末）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：由题意得
解得，
双曲线的方程为；
（2）证明：设，，由双曲线的对称性，可得，．
设，（5分）
则，
，，（8分）
所以
（3）解：由（1）得点为
当直线的斜率存在时，设直线方程，，，，
将方程与双曲线方程联立消去得：，
，
假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为
则
，
故得：对任意的恒成立，
，解得，
当点为时，恒成立；
当直线的斜率不存在时，由，知点使得也成立．
又因为点是双曲线的左顶点，
所以双曲线上存在定点，使恒成立．
22．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：（其中是自然对数的底数）．
【解析】（1）函数定义域为，
，
当时恒成立，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：因为，
由题意，是方程的两个根，
所以①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
所以，
设，因为，所以，
所以，，
因为，所以，则，
若，则一定有，
所以只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，
设函数，，
所以在，上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
所以，即证得，则．