第16讲-导数中的极值点偏移问题(高阶拓展)(学生版).docx

第16讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022年全国甲卷理，第21题,12分
导数中的极值偏移问题
恒成立问题、零点问题
利用导数证明不等式
2021年新I卷，第22题,12分
导数中的极值偏移问题
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数证明不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题
2能理解并掌握极值点偏移的含义
3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解
【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习

知识讲解
1. 极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.

2. 极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.

3. 极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；
（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）

左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）

4. 对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．
证明如下：
（I）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
（II）再证：……②
不等式②（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式‚成立；
综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，
当且仅当时，等号成立．

5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

极值点偏移高考真题鉴赏

1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．

2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

考点一、含对数型极值点偏移

1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求证：．
2．（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）已知函数．
（1）当时，若有两个零点，求的取值范围；
（2）若且，证明：．

1．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数．
（1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
2．（2023·宁夏吴忠·校联考模拟预测）已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数存在两个零点，证明：．

考点二、含指数型极值点偏移

1．（2023·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）如果，且，求证：.
2．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数有三个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.

1．（2023·四川达州·统考一模）已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当函数有两个零点时，证明：．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若，为函数的两个极值点，求的取值范围并证明.

考点三、加法型极值点偏移

1．（2023·贵州·校联考一模）已知函数，.
（1）求函数在的最小值；
（2）设，证明：；
（3）若存在实数，使方程有两个实根，，且，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的零点个数；
(3)若有两个零点，，证明：．

1．（2022·广东汕头·统考一模）已知函数有两个相异零点．
（1）求a的取值范围．
（2）求证：．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，是常数．
(1)求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；
(2)证明：时，设、是的两个正零点，且．

考点四、减法型极值点偏移

1．（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证.
2．（2022秋·广东深圳·高三福田外国语高中校考阶段练习）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.

1．（2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知函数，为函数的导数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，求证：.
2．（2022·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）设函数，，其中.
(1)若，证明：当时，；
(2)设，且，其中是自然对数的底数.
①证明恰有两个零点；
②设如为的极值点，为的零点，且，证明：.

考点五、平方型极值点偏移

1．（2022秋·山东·高三阶段练习）已知，，（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，函数有两个零点，，求证：.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.

1．（福建省泉州市2022届高三8月份质检数学试题（一））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若（是自然对数的底数），且，，，证明：．
2．（2022春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，函数的唯一极小值点为，点和是曲线上不同两点，且，求证：.

考点六、乘积型极值点偏移

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.
2．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数有最小值M，且.
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设，有两个零点为，证明：.

1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；
(3)若方程有两个不等的实数根、，试证明.
2．（2022届河北省张家口市高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知函数（自然对数的底数）有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若的两个零点分别为，证明：.

考点七、商式型极值点偏移

1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个相异零点､，且，求证：.
2．（福建省宁德市2022届高三三模数学试题）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.

1．（2023春·湖北武汉·高二武汉中学校考阶段练习）已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)已知，，为函数的两个极值点，求的最大值.

【能力提升】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一中学校校考期末）已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
2．（2022秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
3．（2023四川攀枝花·统考二模）已知函数有最小值M，且.
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设，有两个零点为，证明：.
4．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数，.
（1）讨论函数的极值点；
（2）若是方程的两个不同的正实根，证明：.
6．（2022秋·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，求证：.
7．（2023秋·河南驻马店·高三校联考阶段练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求a的取值范围；
（2）设两个极值点分别为x1，x2，证明：.
8．（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，求证：.
9．（2023江苏·高二专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
10．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若方程有两个不同实根、证明：．
11．（2023秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调区间与极值；
（2）已知函数的图象与直线相交于，两点（），证明：．
12．（2023全国·高三专题练习）已知函数，其中.
（1）当时，求不等式在上的解；
（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；
（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.
13．（2023春·福建·高二校联考期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若已知函数有两个零点，求证：.
14．（第三章 导数及其应用（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修1-1））设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若存在三个极值点，，，且，求k的取值范围，并证明：.
15．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数有三个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
16．（2023春·天津和平·高二统考期末）设()，，
（1）求的单调区间：
（2）已知函数有两个零点，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：随着的减小而增大.
17．（2023浙江金华·统考三模）已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数)
18．（2023春·江苏徐州·高二江苏省丰县中学校考期中）已知函数，.
（1）当时，求该函数在处的切线方程；
（2）求该函数的单调区间和极值；
（3）若函数在其定义域上有两个极值点，且，求证：.
19．（2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
20．（2023秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个极值点，，，求实数的取值范围，并证明.