第09讲-拓展四：三角形中周长(定值-最值-取值范围)问题-(高频精讲)(原卷版).docx

第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
(精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 2
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：周长（边长）定值 5
角度1：求周长 5
角度2：求边的代数和 10
高频考点二：周长（边长）最值 14
角度1：周长最值 14
角度2：边的最值 21
角度3：边的代数和最值 27
高频考点三：周长（边长）取值范围 37
角度1：周长取值范围 37
角度2：边的代数和取值范围 40
角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 49

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第一部分：知识点必背
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．

2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：

3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．

4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．

5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．

第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值
角度1：求周长
典型例题
例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.

例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，

(1)设，用表示向量及向量．
(2)若，且的面积为，求的周长．

例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.
(1)若，求的面积；
(2)若为的平分线，求的周长.

练透核心考点
1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．

2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，求的周长．

3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．

角度2：求边的代数和
典型例题
例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.

例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；
③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径为，求．

例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的值.

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
1)求A；
(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.

2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.
(1)求的值；
(2)若点D在边BC上且的面积为，求.

3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，
(1)确定角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．

高频考点二：周长（边长）最值
角度1：周长最值
典型例题
例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ）
A． B．6 C． D．
例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．
例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．
(1)求的单调递增区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．

例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.

(1)若，，求四边形的面积；
(2)求周长的最大值.

练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.
3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最小值.

4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.

角度2：边的最值
典型例题
例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．2
例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.

例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．

例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线交于且，求的最小值.

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．

2．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角中，内角的对边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，，求线段长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．

角度3：边的代数和最值
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
例题2．（2023·广西·统考一模）在中，角,,的对边分别是，，，满足.
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.

例题3．（2023·全国·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
已知的三个内角，，的对边分别为，，,且______．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，角,,的对边分别为，，,且，，求的最大值.

例题5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.

3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角B的大小；
(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.

4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的最大值．

5．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值．

高频考点三：周长（边长）取值范围
角度1：周长取值范围
典型例题
例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，若，且，求周长的取值范围．

例题2．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
(1)若 ， 求的面积;
(2)求周长的取值范围．

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.

2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设向量，且．
(1)求角A的值；
(2)若，求的周长l的取值范围．

角度2：边的代数和取值范围
典型例题
例题1．2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是______．

例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．
(1)若，，求的面积；
(2)求的取值范围．

例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．
(1)求；
(2)求的取值范围．

例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若A为钝角，求的取值范围．

2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．

3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、bc，已知．
(1)求证：B＝2A；
(2)求的取值范围．

4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，分别是的内角，，所对的边，向量，
(1)若，，证明：为锐角三角形；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.

5．（2023·全国·高一专题练习）在中，角，，的对边分别为，，．，，．
(1)求；
(2)求的取值范围．

角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围
典型例题
例题1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）的内角、、的对边分别是、、，已知.
(1)求
(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围.

例题2．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知.
(1)求角的值；
(2)若，求的取值范围．

例题3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.
(1)求；
(2)若周长的范围

例题4．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角所对的边分别为.且.
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的取值.

练透核心考点
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围．

2．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

3．（2023春·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．

4．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．