第11讲-直线的交点坐标与距离公式(解析版).docx

第11讲 直线的交点坐标与距离公式

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

1两条直线的交点
设两条直线的方程是l1 : A1 x+B1 y+C1=0 , l2 : A2 x+B2 y+C2=0 ，
两条直线的交点坐标就是方程组A1 x+B1 y+C1=0A2 x+B2 y+C2=0的解.
(1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
(3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合.
2几种距离
(1) 两点距离公式
平面上的两点P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2)间的距离公式P1P2=x2−x12+y2−y12.
(2) 点到直线的距离公式
点P0(x0 , y0)到直线A x+B y+C=0的距离d=A x0+B y0+CA2+B2.
(3) 两平行直线间的距离
两条平行线A x+B y+C1=0与A x+B y+C2=0间的距离d=C1−C2A2+B2.

【题型 1 直线交点问题 】
【典题】（1） 已知直线kx−y+1=0和x−ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为　 　．
【解析】联立方程kx−y+1=0x−ky=0，解得x=k1−k2y=11−k2，(由于两直线相交，故k≠±1)
因为交点在第二象限，所以k1−k2<011−k2>0，解得－14，直线kx−2y−2k+8=0与2x+k2y−4k2−4=0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　 　．
【解析】(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点)
由kx−2y−2k+8=02x+k2y−4k2−4=0得x=2y=4，即两直线的交点为定点B(2 , 4)，
而直线L：kx−2y−2k+8=0与x 轴的交点A(2−8k , 0)，与y 轴的交点D(0 , 4−k)，
直线M：2x+k2y−4k2−4=0与x 轴的交点E(2k2+2 , 0)，与y 轴的交点C(0 , 4+4k2)，
(由k>4，很容易确定各点的位置)
如图所示，
∴S四边形OABC=S△OCE−S△ABE
=12×4+4k22k2+2−12×4×2k2+2−2+8k
=4k2−16k+8=4(1k−2)2−8，
∵k>4，∴0<1k<14，
则1744时，所求面积的取值范围是(174 , 8)．
【点拨】
① 根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与x、y轴交点的位置等.
② 而定点如何确定，如直线M：2x+k2y−4k2−4=0变式为k2y−4+2x−4=0易得过定点B(2 , 4).
【典题】（4）
求过直线x+2y+1=0与直线2x−y+1=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】 方法1 (求出交点，再用截距式求解)
由x+2y+1=02x−y+1=0得交点坐标P(−35,−15)，
由于直线在两坐标轴上截距相等，(截距相等要注意是否为0)
(i)当截距为0，此时直线方程为y=kx，代入点P得k=13，
即所求直线方程为x−3y=0.
(ii)当截距不等于0，设直线方程为xa+ya=1，代入点P得a=−45，
此时所求直线方程为5x+5y+4=0，
综上所述，所求直线方程为x−3y=0或5x+5y+4=0.
方法2 设所求直线方程为x+2y+1+λ(2x−y+1)=0，
(i)当直线过原点时，则1+λ=0，则λ=−1，
此时所求直线方程为x−3y=0.
(ii)当直线不过原点时，令x=0，解得y=λ+1λ−2，令y=0解得x=−λ+12λ+1，
由题意得λ+1λ−2=−λ+12λ+1，解得λ=13，此时所求直线方程为5x+5y+4=0 ,
(∗)中不包括直线2x−y+1=0，而它显然不满足题意，
综上所述，所求直线方程为x−3y=0或5x+5y+4=0.
【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.
过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程
A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0
(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)

巩固练习
1.关于x , y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m=　 　．
【答案】 0
【解析】m=0时，方程组化为：y=−10=3，无解，舍去．
m≠0时，两条直线平行时，可得：m3m=1−m≠−12m+3，无解．

2. 直线kx−y−1=0与直线x+2y−2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为　 　．
【答案】 (−12 , 12)
【解析】由题意可得kx−y−1=0x+2y−2=0，解得x=42k+1，y=2k−11+2k，
∴41+2k>0且2k−11+2k<0，∴−124 , 2)，点N在线段OA的延长线上．设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S，则S的最小值为　 　．
【答案】 12
【解析】设MN与x轴交点的横坐标为a，则MN：y=24−a(x−a)，直线OA：y=2x，
由y=2xy=24−a(x−a)，所以N(aa−3,2aa−3),(a>3)
S=12⋅a⋅2aa−3=a2−9+9a−3=a−3+9a−3+6≥29+6=12，当且仅当a=6，取等号，
故答案为：12．

【题型 2 距离问题】
一、两点间的距离
【典题】（1） 在平面直角坐标系内，到点A(1 , 2)，B(1 , 5)，C(3 , 6)，D(7 , −1)的距离之和最小的点的坐标是　 　．
【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A(1 , 2)，B(1 , 5)，C(3 , 6)，D(7 , −1)的距离之和为：
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A(1 , 2)，B(1 , 5)，C(3 , 6)，D(7 ,−1)，
∴AC , BD的方程分别为：y−26−2=x−13−1，y−5−1−5=x−17−1，
即2x−y=0，x+y−6=0．
解方程组&2x−y=0&x+y−6=0得Q(2 4)．
【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解；若设P(x , y)，再利用两点距离公式求解，就很麻烦了！

【典题】 （2）已知m∈R，动直线l1：x+my−2=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A , B)，则|PA|+|PB|的最大值为　 ．
【解析】l1:x+my−2=0可变形为(x−2)+my=0，过定点A(2 , 0)，
l2：mx−y−2m+3=0可变形为mx−2−(y−3)=0，过定点B(2 , 3)，
方法1 代数法
由x+my−2=0mx−y−2m+3=0可得交点P(2−3mm2+1,3m2+1)，
则PA=3mm2+12+3m2+12=3m2+1，PB=3mm2+12+3m2+1−32=32|m|m2+1，
设a=3m2+1，b=32|m|m2+1，则a2+b2=9，(发现这关系是关键)
则a+b22≤a2+b22=92⇒a+b≤32，当a=b=322时取到等号，
即|PA|+|PB|的最大值为32，当m=±1时取到最值.
方法2 几何法
观察直线斜率可知直线l1与直线l2垂直，(发现这一隐含条件是关键)
则有PA⊥PB，且PA2+PB2=AB2=9，
(相当于方法1的a2+b2=9，此时题目转化为
“已知PA2+PB2=9，求|PA|+|PB|的最大值”，
想到基本不等式)
由PA2+PB2≥2PA∙PB⇒PA∙PB≤92
所以(PA+PB)2=PA2+PB2+2PA∙PB≤18，
即|PA|+|PB|≤32，当且仅当|PA|=|PB|时取等号，
所以|PA|+|PB|的最大值为32．
【思考】 体会下两种方法的异同与优劣性，方法1中PA+PB=3m2+1+32|m|m2+1还能转化为函数最值求解么？

【典题】（3）已知点A(4 , 0) , B(0 , 2)，对于直线l：x−y+m=0的任意一点P，都有PA2+PB2>18，则实数m的取值范围是　 　．
解析】根据题意，点P在直线l：x−y+m=0上，设P的坐标为(x , x+m)，
则有PA2+PB2
=x−42+x+m−02+x−02+x+m−22
=4x2+(4m−12)x+(2m2−4m+20)，
若对于直线l：x−y+m=0上的任意一点P，都有PA2+PB2>18，
则4x2+(4m−12)x+(2m2−4m+20)>18恒成立，
即4x2+(4m−12)x+(2m2−4m+2)>0对于R恒成立，
则有△=4m−122－16(2m2−4m+2)<0，即m2+2m−7>0，
解可得m>−1+22或m<−1−22，
即m的取值范围为(−∞ , −1−22)∪(−122 , +∞)，
【点拨】本题采取设元的方法，把PA2+PB2>18转化为恒成立问题处理.这是典型的代数方法，又是否存在几何的思路呢？
二、点到直线的距离
【典题】（1） 已知直线l方程为2+mx+1−2my+4−3m=0．那m为何值时，点Q(3 , 4)到直线的距离最大，最大值为多少？
【解析】 方法一 函数法
点Q到直线l的距离d=32+m+41−2m+4−3m2+m2+1−2m2=14−8m5(m2+1)，
则d2=45∙7−4m2m2+1=45∙16m2−56m+49m2+1=45∙(16+−56m+33m2+1)
令t=−56m+33，则−56m+33m2+1=3136tt2−66t+4225=0 , t=03136t+4225t−66 , t≠0，
由对勾函数易得t+4225t−66≥64(当t=65时取到等号)，t+4225t−66≤−196，
则0≤3136tt2−66t+4225≤49或−3136196<3136tt2−66t+4225<0
故当t=65，即m=−47时，d2取到最大值45∙16+49=52，即dmax=213.
方法二 几何法
直线2+mx+1−2my+4−3m=0化为x−2y−3m=−2x−y−4．
由x−2y−3=0−2x−y−4=0，得x=−1y=−2 ，
∴直线必过定点(−1 ,−2)．
当点Q(3 , 4)到直线的距离最大时，QP垂直于已知的直线，
即点Q与定点P(−1 , −2)的连线就是所求最大值，
此时直线PQ与直线2+mx+1−2my+4−3m=0垂直，
∵kPQ=−2−4−1−3=32，∴2+m2m−1=−23，解得m=−47，
此时，点Q(3 , 4)到直线的最大距离是(3+1)2+(4+2)2=213．
综上所述，m=−47时，点Q(3 , 4)到直线的距离最大，最大值为213．
【点拨】体会下两种方法的优劣性.

【典题】（2） 设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x−1 , 其中实数k1 , k2满足k1k2+1=0．
(1)证明：直线l1与l2相交；
(2)试用解析几何的方法证明：直线l1与l2的交点到原点距离为定值；
(3)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最大值．
【解析】证明：(1) (只需证明k1≠k2)
反证法：假设l1与l2不相交，(若从正面入手较难，可考虑“反证法”)
则l1与l2平行，有k1=k2，
代入k1k2+1=0，得k12+1=0，
这与k1为实数的事实相矛盾，∴k1≠k2，故l1与l2相交．
(2)由(1)知k1≠k2，由方程组y=k1x+1y=k2x−1
解得交点P的坐标(x , y)为x=2k2−k1y=k2+k1k2−k1，
而x2+y2=(2k2−k1)2+k2+k1k2−k1)2=4+k22+k12+2k1k2k22+k12−2k1k2=k12+k22+2k12+k22+2=1．
即l1与l2的交点到原点距离为1．
3d1+d2=11+k12+11+k22
(从函数的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)
=11+k12+11+1k12=11+k12+k11+k12
=1+k11+k12 (遇到根号，基本思路是考虑平方，换元)
=1+k121+k12 (遇到y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2形式，利用分离常数法、基本不等式)
=1+2k11+k12=1+21|k1|+|k1|≤2，
当|k1|=1即k1=±1时，d1+d2的最大值是2．
【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好，这是基本功.
三、两平行线间的距离
【典题】（1） 正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y−5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，
(1)求正方形中心G所在的直线方程；
(2)设正方形中心G(x0 , y0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．

【解析】(1) 由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y−5=0，
设中心所在直线为x+3y+c=0，
由平行线间的距离公式得|c+5|12+32=|c−7|12+32，解得c=1．
则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；
(2) 正方形的边长即为平行直线AB与CD间的距离d=|7+5|12+32=1210，
设正方形BC所在直线方程为3x−y+m=0，(用到了正方形内角是直角的性质)
由于中心G(x0 , y0)到BC的距离均等于d2=610，(相当用到了正方形四边相等的性质)
那么|3x0−y0+m|12+32=610，解得m=±6−3x0+y0 ①，
又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=−x0+13 ②，
把②代入①得m=±6−10x0+13 ③，
联立方程x+3y−5=03x−y+m=0，解得x=−3m+510y=m+1510，
由于正方形只有两个点在第一象限，
那么x>0y>0，就是−3m+510>0m+1510>0，解得−15−1．
当a=2时，两条平行直线即 l1：2x+2y+4=0，l2：2x+2y+1=0，
它们之间的距离为|4−1|4+4=322，不满足条件．
当a=−1时，两条平行直线即l1：x−2y+2=0，l2：x−2y−1=0，
它们之间的距离为|2+1|1+4=355，满足条件，
故实数a=−1．
【点拨】用两平行直线距离公式时，要确定x、y前的系数一致后才能使用.

巩固练习
1. 到直线3x－4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是　 　．
【答案】 3x－4y+16=0或 3x－4y－14=0
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为3x－4y+c=0，
由平行线间的距离公式可得|c−1|32+(−4)2=3，
解得c=16，或c=－14
∴所求直线的方程为：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=0
2.已知△ABC的顶点为A(2 , 1) ，B(−2 , 3) ，C(0 , −1)，则AC边上的中线长为　 　．
【答案】 32
【解析】根据题意，设AC的中点为D，
△ABC的顶点为A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，
则D(1,0)，|BD|=9+9=32，
3. 点P(cosθ , sinθ)到直线3x+4y−12=0的距离的取值范围为　 　．
【答案】 [75,175]
【解析】记d为点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y－12=0的距离，
即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=15|5sin(θ+φ)－12|，其中tanφ=34；
当θ变化时，d的最大值为175，d的最小值为75，
4.已知实数a , b , c成等差数列，则点P(2 , −1)到直线ax+by+c=0的最大距离是　 　．
【答案】 2
【解析】由a,b,c成等差数列，得a+c=2b，所以c=2b－a；
则点P(2,－1)到直线ax+by+c=0的距离是
d=|2a−b+c|a2+b2=|2a−b+2b−a|a2+b2=|a+b|a2+b2，
由a+b2≤2(a2+b2)，即a2+b2≥12a+b2，
所以a2+b2≥12|a+b|．当且仅当a=b时取等号，
所以d≤|a+b|12|a+b|=2，
即点P(2,－1)到直线ax+by+c=0的最大距离是2．

5. 已知点M(a , b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b2的最小值为 ．
【答案】5
【解析】∵a2+b2的几何意义是点O(0,0)到点M的距离，又点M在直线l上，
∴a2+b2的最小值为点O到直线l的距离d，
又d=2532+42=5，
∴a2+b2min=5，
6. 在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a , a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为　 　．
【答案】a=10或a=−1
【解析】设P(x,1x)，
则d=|PA|=(x−a)2+(1x−a)2=(x+1x)2−2a(x+1x)+2a2−2．
令t=x+1x≥2
∴d=t2−2at+2a2−2，
令ft=t2－2at+2a2－2,t≥2．
该函数对称轴t=a
①a≤2时，f(t)递增，ftmin=f(2)=2a2－4a+2=8
解得a=－1或3(舍)
②a>2时，ftmin=f(a)=a2－2=8
解得a=10或−10(舍)．
综上，a的取值为－1或10．

一、单选题
1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】首先设点的坐标，再根据条件列出，利用向量的坐标相等，即可求解点的坐标，代入直线方程求.
【详解】设，且，
则，得，解得：,
代入直线，，得.
故选：D
2．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.
【详解】解：①，若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.
②，若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.
③若，则，“距离坐标”为的点有且仅有4个，为，如图，故正确.
故正确的命题个数为3个.
故选：D

3．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取点、，则、、三点共线，、、三点共线，求出直线、的方程，联立这两条直线的方程，可得出点的坐标，进而可求得的值.
【详解】如下图所示：

由题意可知点，取点、，
则、、三点共线，、、三点共线，
且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
因为点在直线上，所以，，解得.
故选：C.
4．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ）
A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0
C．+4y=0 D．+4y+5=0
【答案】B
【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得．
【详解】直线的斜率是，与轴交点为，
因此它关于轴对称的直线方程是，即．
故选：B．
5．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
6．（2005·浙江·高考真题）点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，
所以点（1，-1）到直线的距离为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7．（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.
【详解】由点到直线距离可知所求距离.
故选：D
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
8．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案】B
【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0，
所以，，
解之得k＝0或，
所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，
所以符合题意的直线有两条，选B.
9．（2003·全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出对称点，得出关系.
【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x轴对称的点在直线上，
即有，满足直线方程，
即，     化简得，.
故选：C.
10．（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
11．（2004·安徽·高考真题）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.
【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，
即，解得：
在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，
由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：
即
故选：C
【点睛】本题考查求直线关于直线的对称方程，属于基础题.
方法点睛：（1）若两条直线不平行，求出交点坐标，则交点在所求直线上；
（2）在已给直线上任取一点，求出此点关于直线的对称点，也在所求直线上；
（3）利用两点坐标求斜率以及直线方程.

二、解答题
12．（2003·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）

(1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？
(2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？
【答案】(1)
(2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中

【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论；
（2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值．
则点的坐标是
（2）解：记
至三镇的最远距离为
由解得，记，
于是
当，即时，
因为在，上是增函数，而在，上是减函数．
所以时，函数取得最小值．点的坐标是

当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值．
则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中

三、填空题
13．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 .

【答案】4
【分析】画出到直线距离为1的点的轨迹和到直线距离为2的点的轨迹，交点即为“距离坐标”是的点.
【详解】
作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2，
由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4.
故答案为：4.
14．（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，
则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，
则，
则在中，，
所以，
又直线的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为或．
故答案为：①⑤．

15．（2005·上海·高考真题）直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是 ；
【答案】
【分析】由题得对称的直线的斜率为，再解方程组得两直线的交点坐标，再写出对称直线的方程.
【详解】由题得对称的直线的斜率为，
解方程组得两直线的交点为，
所以对称直线的方程为.
故答案为
【点睛】本题主要考查线线线对称问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

一、单选题
1．点到直线的距离是（    ）
A． B． C． D．
答案】B
【分析】利用点线距离公式即可求解.
【详解】因为点线距离公式为，
所以.
故选：B.
2．点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用中点和斜率来求得点坐标.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得．
所以点Q的坐标为.
故选：A
3．已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两直线关于原点对称的特点，即将的方程中改为，改为，即可得到答案.
【详解】因为直线与关于原点对称，则只需将的方程中改为，改为，可得的方程是，即
故选：A
4．在平面内，与轴、轴和直线的距离都相等的点共有（    ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】设满足题意得点的坐标为（a，b），由距离公式可得a2＝b2，分类讨论可得结论．
【详解】设满足题意得点的坐标为（a，b），
∵点到x轴、y轴的距离相等，∴a2＝b2，
∴a＝b或者a＝﹣b；
由点到直线的距离公式可得：点到直线x+y﹣2＝0的距离的平方d2
由题可得a2＝b2
当a＝b时，可解得a＝b＝2±；
当a＝﹣b时，可解得a＝﹣b＝±；
∴符合题意得点总共4个
故选D．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．
5．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.
【详解】
可得：
根据点到直线距离公式，可得上的点到直线的距离为

【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.
6．经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】先求解出两直线的交点坐标，然后分类讨论直线的截距是否为，由此求解出满足的直线方程.

【详解】因为，所以，
当直线的横纵截距都为时，设，代入可得，
所以直线方程为，即；
当直线的截距不为时，设，代入可得，
所以直线方程为，即；
故选：D.

二、多选题
7．已知直线与交于点，则（    ）
A．
B．
C．点到直线的距离为
D．点到直线的距离为
【答案】ABD
【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可.
【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，故C错误，D正确.
故选：ABD.
8．下列说法正确的是（    ）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8.
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.
【答案】AB
【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；
对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；
对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.
【详解】解：对于A，点到直线的距离为，故A正确；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；
对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；
对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，
当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；
故选：AB.

三、填空题
9．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为 .
【答案】
【分析】由两直线平行与系数间的关系列式求得值，再由两平行线间的距离公式求解.
【详解】解：直线与直线平行，
，解得.
直线化为，即.
由两平行线间的距离公式可得，直线与直线间的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查两直线平行与系数间的关系，考查两平行线间的距离公式的应用，是基础题.
10．斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 .
【答案】1
【分析】根据条件求向量在法向量上的投影数量的绝对值即可.
【详解】，即在上的数量投影的绝对值等于1，所以点到直线的距离为1.
故答案为：1
11．已知曲线的参数方程为（为参数，），曲线上的两点，对应的参数分别为，，且，则 .
【答案】
【分析】设，，先求出，再求得解.
【详解】设，，因为，在曲线上，
所以，，
因为，所以，
又，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查参数方程的应用，考查曲线上两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．一直线过点P(2,0)，且点到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为 .
【答案】90°或30°
【分析】考虑斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线的距离公式计算得到答案.
【详解】当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在
设为k，则过点P的直线方程为，即.
由，解得，此时直线的倾斜角为30°.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角，解答此类问题时，一定要考虑全面，尤其是设直线的点斜式方程时一定要考虑到直线斜率存在和不存在两种可能性，不能想当然地认为直线的斜率存在而漏解.

四、解答题
13．已知点A(-3，4)，，在x轴上找一点P使得，并求出的值.
【答案】
【分析】设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及列方程，解方程求得点的坐标，进而求得的值.
【详解】【解】设，则，，由，得.解得，所以，且.
【点睛】本小题主要考查两点间的距离公式，考查方程的思想，属于基础题.
14．已知三角形的顶点坐标为，M是边上的中点
（1）求中线的长；
（2）求边上的高所在直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由中点坐标公式和两点的距离公式可得答案；
（2）根据两点的斜率公式和两直线垂直其斜率间的关系可求得AB边上的高所在直线方程的斜率，从而得出直线方程.
【详解】（1）设M的坐标为，则由中点坐标公式得，故，所以.
（2）因为直线的斜率为，
设边的高所在直线的斜率为k，则有，∴.
所以边高所在直线方程为即.
【点睛】本题考查中点坐标，两点的距离公式，两直线垂直其斜率间的关系，以及直线的方程的求法，属于基础题.
15．（1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）已知直线经过点，且原点到直线的距离等于，求直线的方程.
【答案】（1）或；
（2）或.
【分析】（1）根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，再利用直线的截距式方程即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程和点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，解得，
所以直线与的交点坐标为.
当直线经过坐标原点时，直线的方程为，即.
当直线不经过原点时，设直线的方程为，则
因为直线经过点，所以，解得,
所以直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，满足题意；
当直线的斜率不时，设直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离等于，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
16．已知双曲线，是上的任意一点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
（2）若点的坐标为，求的