第04讲-对数与对数函数(学生版).docx

第04讲 对数与对数函数（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第10题,5分
对数的运算性质的应用
对数函数模型的应用
对数函数的单调性解不等式
2021年新Ⅱ卷，第7题,5分
比较对数式的大小
无
2020年新I卷，第12题,5分
对数的运算
随机变量分布列的性质
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分
对数函数单调性
复合函数的单调性

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习

知识讲解
1. 对数的运算
（1） 对数的定义
如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数

（2） 对数的分类
一般对数：底数为，，记为
常用对数：底数为10，记为，即：
自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：
（3） 对数的性质与运算法则
①两个基本对数：①，②
②对数恒等式：①，②。
③换底公式：；
推广1：对数的倒数式
推广2：。
④积的对数：；
⑤商的对数：；
⑥幂的对数：❶，❷，
❸，❹
2. 对数函数
（1） 对数函数的定义及一般形式
形如：的函数叫做对数函数

（2） 对数函数的图象和性质
图象

性质
定义域：
值域：
当时，即过定点
当时，；
当时，
当时，；
当时，
在上为增函数
（5）在上为减函数

考点一、对数的运算

1．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（         ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B

2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（    ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1

1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值.
【详解】因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得.
故选：B.

2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.
【详解】由于，所以，故，
故选C.

3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，
故选：D.

4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数是偶函数，，则_______．
【答案】
【分析】根据是偶函数，解出值，再根据分段函数解析式算出结果.
【详解】解：已知函数是偶函数，
所以，即，
整理得，解得，
经检验，满足题意，
因为，则，
则，，
故答案为：.

考点二、对数函数的定义域

1．（全国·高考真题）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零．
【详解】解：由，得，
又因为，即，得
故，的取值范围是，且．
定义域就是
故选：B．

2．（上海·高考真题）函数的定义域为_____________．
【答案】
【分析】函数的定义域满足且，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：且，解得.
故答案为：

1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）若集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根式、对数性质解不等式和定义域，再应用集合交运算求结果.
【详解】由，则，故，
由，则，故，
所以.
故选：B
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C

【分析】先求出集合，然后利用集合补集和并集运算即可.
【详解】由已知，
，
，  
.
故选：C.
3．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合 ，集合，全集，则为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据真数大于零以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】对于集合A，由或，所以，，
，故.
故选：B

考点三、对数函数的图象与性质

1．（全国·高考真题）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.
【详解】∵a>1，∴0<<1，
∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.
2．（山东·高考真题）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
3．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．

1．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
2．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
3．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，

由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.

考点四、对数函数的单调性

1．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

2．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

1．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数的单调递减区间为__________.
【答案】/
【分析】根据复合函数的单调性求解，需注意函数的定义域.
【详解】在上单调递增，，
当时，单调递减，
根据复合函数的单调性知在（也可）上单调递减，
故答案为：（也可）

2．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】令，，
若在上单调递增，
因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，
则且，解得.
因为⫋，故是的必要不充分条件，
故选：C.

3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数在上是减函数 D．函数的值域为
【答案】BD
【分析】根据奇偶性的定义判断AB选项；利用换元法分析函数的单调性，即可判断C选项；根据单调性求值域即可判断D选项.

【详解】因为的定义域为，

所以，所以为偶函数，所以A错误，B正确；
令，则，令，则，
当时，，所以为增函数，
又为增函数，所以为增函数，
又为增函数，所以在上是增函数.
又为上的偶函数，
所以，所以的值域为.所以C错误，D正确.
故选：BD.

4．（2023·河北邯郸·统考一模）（多选）已知函数，则（    ）
A．的定义域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。
【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；
，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；
因为在上单调递减，所以D错误．
故选：AB.

5．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 _____．
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义求出a，再根据给定的单调性确定作答.
【详解】因为函数为R上的奇函数，则，，
即有恒成立，
因此对任意实数x恒成立，于是，解得，
当时，，函数与在上单调递增，
则函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增于是奇函数在上单调递增，即在R上单调递增，不符合题意，
当时，，因此函数在R上单调递减，符合题意，
所以实数a的值为1.
故答案为：1

考点五、对数函数的值域与最值

1．（山东·高考真题）函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果.
【详解】，
，
，
∴函数的值域为.
故选：A
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.

2．（山西·高考真题）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a=
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【详解】试题分析：设，函数为上的增函数，则在区间上的最小值为，最大值为，则，即为，解得，故选D．
考点：对数函数的值域与最值.

3．（2004·天津·高考真题）若函数，在区间上的最大值是最小值的3倍，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依据题设可知函数在区间上单调递减，则，即，解之得，故应选答案D.

1．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知函数的值域为R，那么实数k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用函数的值域是R，通过判别式列出不等式求解即可．
【详解】函数的值域为R，所以对数的真数取遍全体正实数，
可得△＝（k﹣3）2﹣9≥0，解得k∈（﹣∞，0]∪[6，+∞）．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的值域，恒成立问题的处理方法，考查计算能力以及转化思想的应用．

2．（2022·重庆·统考模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A

3．（2023·广东·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（   ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC

考点六、对数函数中奇偶性的应用

1．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称

若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参

函数为奇函数

[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．

1．（2021·山西临汾·统考一模）已知函数，若，则______．
【答案】﹣3
【分析】利用函数的对称性可求得函数值．
【详解】根据题意，函数，
则
，
则，
若，则，
故答案为：﹣3．

2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，且，则（    ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案.
【详解】解：根据题意，函数，
则，
则有，
故，
若，则，
故选：C.

3．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.
【详解】由题意函数，
因为恒成立，即函数的定义域为，
又因为，所以不是奇函数，所以错误；
将的图象向下平移两个单位得到，
再向左平移一个单位得到，
此时，所以图象关于点对称，
所以的图象关于对称，所以B正确；
将函数的图象向左平移一个单位得，
因为，
即，所以函数为奇函数，
所以函数关于点对称，
所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，
则，所以C正确；
由，可得，
由，
设，，
可得，所以为减函数，
可得函数为减函数，
所以函数为单调递减函数，
又由为减函数，所以为减函数，
因为关于点对称，
所以，即，
即，解得，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；
②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

考点七、对数函数值的大小比较（构造函数比较大小）

1．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.

2．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.

3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当00时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故

1．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象与性质，分别求得，，再由指数函数的性质，求得，即可得到答案.
【详解】由，即
又由，可得，
因为，即，所以.
故选：C.

2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用换底公式得到，再利用基本不等式比较即可；同理得到的大小.
【详解】解：因为，
又因为，
所以，即；
因为，
又因为，
所以，即，
所以，
故选：A

3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先可得，再根据对数函数的性质得到，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，，
因为，，，
所以，则，即，
所以.
故选：B

4．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．
【详解】，
，即b，∴a>b；
∵，，∴，；
∵，，，；
．
故选：D．
【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．

5．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可.
【详解】因为，所以，显然.
令，则，，
若，且，
则，
所以在上递减，则，即，
综上，.
故选：D.

6．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，
所以，
令，则，
令，
则，
所以在上递减，
所以，所以，
所以在上递减，
所以，
即当时，，
所以，
即，
所以．
故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，.

【基础过关】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考三模）设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得和，集合基本的交集与补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
可得，所以.
故选：C．
2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）若集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再由交集和补集的运算求解即可.
【详解】由可得：，解得：，
由可得：，解得：或，

所以，，
所以
故选：D.
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，则（    ）
A． B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.
【详解】由条件可得，则.
故选：C.
4．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值.
【详解】因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得.
故选：B.
5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：C
6．（2023·北京通州·统考三模）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性估算的范围，即可比较大小.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
因为在上单调递减，且，
所以，化简得；
因为在上单调递增，且，
所以，化简得；
综上，可知.
故选：A
7．（2023·北京海淀·校考三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，
又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：，函数在上单调递减，故D正确；
故选：D
8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用即可求出，即可求解
【详解】，
因为为奇函数，所以，
即，所以，
经检验，满足题意,
所以，所以.
故选：B.
9．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【详解】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D

二、填空题
10．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，.请写出一个满足上述条件的函数______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由函数的奇偶性、对数运算的性质即可得答案.
【详解】因为函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，
所以满足三个条件.
故答案为：（答案不唯一）.

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数的单调性，对数函数的单调性，结合放缩法可解.
【详解】因为，所以，
又，所以，所以，
因为，所以.
故选：B
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造，对求导，得出的单调性、最值，可得，可判断；将不等式中的换为，可得，可知，通过对数运算可得，即可得出答案.
【详解】．
令，则．
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，当且仅当时，等号成立．所以．
将不等式中的换为，可得，
当且仅当时，等号成立，所以；
又，所以．故．
故选：B.
3．（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.
【详解】∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
故.
故选：D.
4．（2023·安徽·校联考二模）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数单调性比较数的大小.
【详解】设，则，
当时，，当时，，
即当时，取得最小值，
即有，．
令，则，
令，易得在上单调递增，
∴当时，，，
在上单调递增，
，即，
，.
故选：B．
5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知实数满足： ，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先可得，再设，即可得到，再结合指数函数的性质得到，同理得到、，再根据函数的单调性得到，即可判断.
【详解】因为，即，所以，
设，
，
设是单调递增函数，所以，所以，即，
又是单调递减函数，且，所以，
设

设是单调递增函数，所以，所以，即
又是单调递减函数，且，，
所以，
同理，由得，
又是单调递减函数，且，，
所以，
由，
所以且是单调递减函数，所以.
综上可得
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.
6．（2023·山西运城·统考二模）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得.
【详解】因为，
所以
令，，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
因为在上单调递增，所以；
令，则恒成立，
所以，在R上单调递减，
所以，当时，有，即，
所以.
因为，
所以，
所以.
所以.
故选：B．
【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系.
7．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】由题设可得、，根据有，结合、即可求解.
【详解】由题设，则，
所以，即关于对称，又，则，
由于，又任意都有，
所以，
由，故，
而，故，故.
综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据已知条件得到，结合对称性和递推关系求得.

二、多选题
8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知，满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.
【详解】对于A，由，得，
当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，解得，解得，
得在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，B正确；
对于C，当时，满足，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
9．2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断.
【详解】因为，为单调递增函数，故，
由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；，；
对于ABC，A正确，BC均错误；
对于D，，两边取自然对数，，
因为不管，还是，均有，
所以，故只需证即可，
设（且），则，
令（且），则，
当时，，当时，，
所以，所以在且上恒成立，
故（且）单调递减，
因为，所以，结论得证，D正确．
故选：AD．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

三、填空题
10．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为________．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，即，得，故，
由在直线上，得，即，
因为且，，所以且，，
所以.
当且仅当，即，即，时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：

【真题感知】
一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
4．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
5．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
6．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
7．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）
A．a<b