艺体生高考数学冲刺-第8讲-二项式定理学生.docx

第8讲 二项式定理
[玩前必备]
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Can－rbr．
2. 二项展开式形式上的特点
(1) 项数为n＋1．
(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3) 字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4) 二项式的系数从C，C，一直到C，C．
3.二项式系数的性质
(1)对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.
(2)增减性与最大值
先增后减中间最大
当r＜时，二项式系数是递增的；当r＞时，二项式系数是递减的；
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第＋1项的二项式系数最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第项和项的二项式系数最大．
(3)二项式系数和：二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n，
(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[玩转典例]
题型一 求二项展开式指定项的系数
例1　(1)(福建理)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．
(2)(重庆理)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．
例2　(2015新课标Ⅰ理)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
[玩转跟踪]
1．(四川理)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________(用数字填写答案)．
2．(广东理)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．
3.(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40 C．40 D．80
题型二 已知二项展开式指定项的系数求参数
例3 (2018·海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B. C．1 D．2
例4 若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)
A．±2 B. C．－2 D．±
[玩转跟踪]
1．(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
2．(湖南理)已知5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝(　　)
A. B．－ C．6 D．－6
题型三 二项式系数的性质
例5 (湖北理)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
例6 若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)
A．360　　 　 B．180 C．90 D．45
[玩转跟踪]
1．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．－7 B．7 C．－28 D．28

题型四 赋值法与二项式系数和问题
例7 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.

[玩转跟踪]
1.(新课标II理)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
2.已知(x－)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
[玩转练习]
1．(2018全国卷Ⅲ)的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
2．（2017新课标Ⅰ）展开式中的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
3．（2017新课标Ⅲ）的展开式中的系数为（ ）
A．80 B．40 C．40 D．80
4．(2016年四川) 设为虚数单位，则的展开式中含的项为( )
A．－15 B．15 C．－20 D．20
5.（2019全国III理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6.（2019天津理10）是展开式中的常数项为 .
7．(2018天津)在的展开式中，的系数为 ．
8．(2018浙江)二项式的展开式的常数项是___________．
9．（2017浙江）已知多项式=，则=___，=___．
10．（2017山东）已知的展开式中含有项的系数是，则 ．
11．(2016年山东)若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．
12．(2016年全国I)的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）
13．（2015北京）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
[玩转高考]

1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
2.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60
3.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）
4.【2014课标Ⅰ，理13】的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）
5.【2013课标Ⅰ，理9】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )
A、5 B、6 C、7 D、8