第06讲-利用导数研究能成立(有解)问题(学生版).docx

第06讲 利用导数研究能成立（有解）问题
核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3有解，有解，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习

知识讲解
1. 能成立（有解）问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
2. 能成立（有解）问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．

考点一、利用导数解决函数能成立（有解）问题

1．（全国·高考真题）设函数，曲线处的切线斜率为0
求b;若存在使得，求a的取值范围．
2．（·天津·高考真题）已知，函数， ．（的图象连续不断）
(1) 求的单调区间；
(2) 当时，证明：存在，使
(3) 若存在属于区间的，且，使，证明： ．

3．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
2．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.
3．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知．（）
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范围．
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值.

【基础过关】
1．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若上，使得成立，求的取值范围．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性﹔
（2）若存在，求的取值范围．
3．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
4．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．
(2)，使得成立，求实数的取值范围．
5．（2023·青海西宁·统考二模）设函数．
(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．

【能力提升】
1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，．
(1)求的极值；
(2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（）

3．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
4．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求；
(2)若对，存在，使得有解，求的取值范围．

【真题感知】
1．（湖北·高考真题）设是函数的一个极值点．
(1)求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
(2)设．若存在使得成立，求的取值范围．
2．（广东·高考真题）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，试讨论是否存在，使得.
3．（辽宁·高考真题）设函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
4．（江苏·高考真题）已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.