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专题10 共点力的动态平衡与临界极值
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常考点 共点力的动态平衡与临界极值问题的常用方法 1
考点拓展练习 5

常考点归纳
常考点 共点力的动态平衡与临界极值问题的常用方法
【典例1】
两根细绳AO和BO连接于O点，O点的下方用细绳CO悬挂一花盆并处于静止状态。在保持O点位置不
动的情况下，调整细绳BO的长度使悬点B在竖直墙壁上向下移动，此过程中绳AO受到的拉力（　　）

A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【典例2】
（多选）如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，则（　　）

A．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝
C．临界角θ0＝60°
D．临界角θ0＝45°
【典例3】
如图，在水平地面上竖直固定一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔P，
细线上端被人牵着，下端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直方向的夹角为θ，重力加
速度为g，则（　　）

A．在A处，细线对小球的弹力大小为mgcosθ
B．将小球由A缓慢拉至B的过程，细线所受拉力变大
C．在A处，圆环对小球的弹力大小为mg
D．将小球由A缓慢拉至B的过程，圆环所受压力变小
【技巧点拨】
一．动态平衡的概念
“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡
二.平衡中的“四看”与“四想”
(1)看到“缓慢”，想到“物体处于动态平衡状态”。
(2)看到“轻绳、轻环”，想到“绳、环的质量可忽略不计”。
(3)看到“光滑”，想到“摩擦力为零”。
(4)看到“恰好”想到“题述的过程存在临界点”。
三、解决动态平衡常用方法
1．解析法
如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化．还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值
2.图解法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另一个力的方向恒定时可用此法．由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值．
例：挡板P由竖直位置绕O点逆时针向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化．(如图)

2．相似三角形法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时用此法(如图)

受力分析
FN

G

F

FN

G

F

A

O

FN

G

F

力的矢量三角形和边的三角形相似
FN

G

F

l

h

d

FN

G

F

h

l

R

A

O

FN

G

F

R

R

l

比例

四、平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用图解法进行动态分析，确定最大值与最小值。
3．平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
(2)三力平衡：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。
(3)多力平衡：物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反。
【变式演练1】
（多选）如图所示，细绳端与质量为m的小物块A相连，另一端悬挂在以小物块A为圆心，半径为绳长的一段圆弧形轨道上的O点（O点位于小物块A的正上方）。置于水平桌面上的小物块B用两端含光滑饺链的无弹性轻杆与小物块A连接，细绳与轻杆长度相同。保持小物块A不动，将细绳上端从O点沿圆弧形轨道缓慢地移到小物块B的正上方，此时细绳与竖直方向成60°角。已知小物块B的质量为2m，且始终静止在桌面上。细绳、杆、圆弧形轨道均在同一竖直半面内，小物块A、B均可视为质点。则（　　）

A．细绳竖直时，小物块B受到水平向右的静摩擦力
B．细绳由初始位置移动到与竖直方向成60°角的过程中绳上的拉力先减小后增大
C．当细绳与竖直方向成60°角时，杆对小物块A作用力的大小为mg
D．当细绳与竖直方向成60°角时，桌面对小物块B的作用力的大小为2.5mg
【变式演练2】
表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端
各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝
2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比为，小球与半球之间的压力之比为，则以下说法正确的
是（　　）

A．＝ B．＝
C．＝1 D．＝
【变式演练3】
如图所示，高处有一固定的光滑半球形容器，底部有一小孔，用一细轻杆通过小孔将内壁的一个光滑小球
缓慢地沿内壁向上推，则在推的过程中下列说法正确的是（　　）

A．杆对球的作用力越来越小
B．杆对球的作用力大小不变
C．容器壁对球的作用力大小不变
D．容器壁对球的作用力越来越小

考点拓展练习
1．如图所示，某健身爱好者手拉着轻绳，在粗糙的水平地面上缓慢地移动，保持绳索始终平行于地面。为了锻炼自己的臂力和腿部力量，可以在O点悬挂不同的重物C，则（　　）

A．若健身者缓慢向右移动，绳OA的拉力变小
B．若健身者缓慢向左移动，绳OB的拉力变小
C．若健身者缓慢向右移动，绳OA、OB拉力的合力变大
D．若健身者缓慢向左移动，健身者与地面间的摩擦力变大
2.如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F等于（　　）

A．mgsinα B． C．mgsin2α D．
3．如图，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则（　　）

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4．如图所示，小物块在水平推力F的作用下沿光滑半圆曲面从B点缓慢移动到C点，曲面对小球的支持力为FN，下列说法正确的是（　　）

A．F逐渐增大，FN逐渐增大
B．F逐渐增大，FN逐渐减小
C．F逐渐减小，FN大小保持不变
D．F逐渐减小，FN先增大后减小
5．如图所示，有一倾角为θ的斜面，斜面上有一能绕固定轴B转动的木板AB，木板AB与斜面垂直，把球放在斜面和木板AB之间，不计摩擦，球对斜面的压力为F1，对木板的压力为F2．将板AB绕B点缓慢推到竖直位置的过程中，则（　　）

A．F1和F2都增大 B．F1和F2都减小
C．F1增大，F2减小 D．F1减小，F2增大
6．房屋装修工人常用如图所示的简易方式运送材料，图中C为光滑定滑轮。为了保证材料不碰触窗台A、B，需要一人在楼下用一根绳子拽拉，保证材料竖直向上缓慢上升。假定人的位置不变，则在运送过程中（　　）

A．OC绳和OD绳的拉力均逐渐增大
B．OC绳和OD绳的拉力均逐渐减小
C．OC绳的拉力逐渐增大，OD绳的拉力逐渐减小
D．OC绳的拉力逐渐减小，OD绳的拉力逐渐增大
7．如图所示，圆环固定在竖直平面内，打有小孔的小球穿过圆环。细绳a的一端固定在圆环的A点，细绳b的一端固定在小球上，两绳的联结点O悬挂着一重物，O点正好处于圆心。现将小球从B点缓慢移到B'点，在这一过程中，小球和重物均保持静止。则在此过程中绳α的拉力（　　）

A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，斜面上有一重为10N的物体，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，现给物体施加一沿斜面向上的力F，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，如果物体能在斜面上静止，推力F的大小不可能是（　　）

A．2N B．10N C．5N D．12N
9．（多选）如图，带有光滑滑轮的物块a置于水平面上，物块b放在物块a上，轻质细线一端固定在物体b上，另一端绕过光滑的滑轮固定在d点，滑轮2下悬挂物块c，系统处于静止状态。若将固定点d向右移动少许，而b与a始终静止。下列说法正确的是（　　）

A．轻质细线对滑轮2的作用力增大
B．物块a对地面的压力不变
C．地面对物块a的摩擦力增大
D．物块a对物块b的摩擦力不变