核心考点07导数的概念及其意义-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期(原卷版).docx

核心考点07导数的概念及其意义
目录
一．变化的快慢与变化率
二．导数及其几何意义
考点考向

一．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
二．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．
考点精讲

一．变化的快慢与变化率（共10小题）
1．（2022春•静安区校级期末）已知物体做直线运动对应的函数为S＝S（t），其中S表示路程，t表示时间．则S'（4）＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s

（多选）2．（2022春•静安区校级期末）对于函数f（x），若f′（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022春•闵行区校级期末）函数f（x）＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于 　 　．
4．（2022春•长宁区校级期末）某物体的运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）满足函数关系为S＝t2+10t，则该物体在时刻t＝3时的瞬时速度为 　 　（米/秒）．
5．（2022春•浦东新区校级月考）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 　 　mm/min．
6．（2022春•宝山区校级月考）函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为 　 　．

7．（2022春•青浦区校级期末）已知f（x）＝ax2+b的图像开口向上，，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
8．（2022春•浦东新区校级期末）函数y＝x2+x在x＝2到x＝2+h之间的平均变化率为 　 　．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）函数f（x）＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为 　 　．
10．（2022秋•嘉定区月考）对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为 　 　．
二．导数及其几何意义（共6小题）
11．（2022秋•浦东新区期中）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　）

A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1
12．（2022春•徐汇区期末）如图，已知直线l是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，则f'（3）的值为 　 　．

13．（2022秋•浦东新区校级期中）若f（x）为可导函数，且，则在曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线斜率为 　 　．
14．（2022春•浦东新区校级期中）曲线y＝sinx在处的切线斜率是　 　．

15．（2022春•黄浦区校级期末）已知一组抛物线y＝ax2+bx+1，其中a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是　 　．
16．（2022秋•黄浦区校级月考）已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为﹣，求点M的坐标（x0，y0）；
（Ⅱ）设P（﹣2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

巩固提升

一、单选题
1．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ）

A．
B．
C．
D．
2．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2023·上海·高二专题练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，三者的大小关系为__．（由大到小排列）

4．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
5．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知函数在点处切线的斜率是3，则实数__________.
6．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是_____．
三、解答题
7．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．