第3讲-运动图象-追及和相遇问题(原卷版)-—2024年高考一轮复习精细讲义.docx

第3讲 运动图象　追及和相遇问题
——划重点之精细讲义系列

一．x－t、v－t图象
1．对x－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示速度的大小．
②图线上某点切线的斜率正负表示速度的方向．
2．对v－t图象的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体速度随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的加速度的大小．
②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向．
(3)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示位移的大小．
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．
二．追及、相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰撞等问题．
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近．

【典例1】物体运动的速度—时间图象如图所示，该质点做直线运动时(　　)

A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
【典例2】如图所示，为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图象，已知甲做匀变速直线运动，乙做匀速直线运动，则0～t2时间内，下列说法正确的是(　　)
A．两物体在t1时刻速度大小相等
B．t1时刻乙的速度大于甲的速度
C．两物体的平均速度大小相等
D．甲的平均速度小于乙的平均速度

考点一　两类运动图象的比较
x－t图象和v－t图象的比较

x－t图象
v－t图象

图象

物
体
的
运
动
性
质
①
表示从位置坐标为正处开始一直做反向匀速直线运动并越过位置坐标为零处
表示先正向做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动
②
表示物体静止不动
表示物体做正向匀速直线运动
③
表示物体从位置坐标为零处开始做正向匀速直线运动
表示物体从静止做正向匀加速直线运动
④
表示物体做正向匀加速直线运动
表示物体做加速度增大的正向加速运动

【典例1】(多选)一质点做直线运动的v－t图象如图所示，下列选项正确的是 (　　)

A．在2～4 s内，质点所受合外力为零
B．质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大
C．在第4 s末，质点离出发点最远
D．在0～6 s内，质点的平均速度为5 m/s
【典例2】在珠海的航展中，中国展出了国产运－20和歼－31等最先进飞机．假设航展中有两飞机甲、乙在平直跑道上同向行驶，0～t2时间内的v－t图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．飞机乙在0～t2内的平均速度等于
B．飞机甲在0～t2内的平均速度比乙的大
C．两飞机在t1时刻一定相遇
D．两飞机在0～t2内不可能相遇
【典例3】甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图所示．下列表述正确的是(　　)

A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大
B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大
C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小
D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

图象问题的三个提醒
(1)x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
(2)x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
(3)无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．

考点二　运动图象问题的解题思路
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法．它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律．运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图
即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个：
第一：关注横、纵坐标
(1)确认横、纵坐标对应的物理量各是什么．
(2)注意横、纵坐标是否从零刻度开始．
(3)坐标轴物理量的单位也不能忽视．
第二：理解斜率、面积、截距的物理意义
(1)图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况．
(2)面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如v－t图象中的面积表示位移．
(3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距．
第三：分析交点、转折点、渐近线

(1)交点：往往是解决问题的切入点．
(2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用．
(3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势．
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．

【典例1】　小明同学利用传感器绘出了一个沿直线运动的物体在不同运动过程中加速度a、速度v、位移x随时间变化的图象，如图所示．若该物体在t＝0时刻，初速度为零，则表示该物体沿单一方向运动的图象是(　　)

【典例2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(　　)

A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【典例3】A、B两质点在同一直线上运动，t＝0时刻，两质点从同一地点运动的x－t图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．经过4 s，B质点的位移大于A质点的位移
D．在图示的运动过程中，A、B两质点之间的距离在0～4 s内某一时刻达到最大

考点三　追及、相遇问题
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0＜xB，则此时能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则此时恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0＞xB，则此时不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4.追及、相遇问题的常见形式
①初速度小者追初速度大者
追及类型
图像描述
相关结论
匀加速追匀速

设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶
a.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大;
b.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x;
c.t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大;
d.一定能追上且只能相遇一次

匀速追匀减速

匀加速追匀减速

匀加速追匀速

②初速度大者追初速度小者
追及类型
图像描述
相关结论
匀减速追匀速

设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶
a. 若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件;
b. 若△xx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇

匀速追匀加速

匀减速追匀加速

匀减速追匀减速

【典例1】(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)

A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【典例2】春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？

【典例3】两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v－t图象如图所示．对A、B运动情况的分析，下列结论正确的是(　　)

A．A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1
B．在t＝3 t0时刻，A、B相距最远
C．在t＝5t0时刻，A、B相距最远
D．在t＝6t0时刻，A、B相遇
【典例4】因受台风影响，浙江多地暴雨，严重影响了道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s，v2＝25 m/s，轿车在与货车距离s0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车只是立即刹车，则轿车要经过s＝160 m才停下来．两车可视为质点．
(1)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？
(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a2＝2.5 m/s2加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？

解追及、相遇类问题的思路和技巧
(1)解题思路和方法
―→―→―→
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

1．（多选）下列四个图分别为四个质点做直线运动的速度-时间图像，则在前2s内，哪些质点做匀变速运动（　　）
A． B．    
C．   D．  
2．（多选）宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车和电梯的设计等多种工作都用到急动度的概念，急动度j是描述加速度a随时间t变化快慢的物理量，即j=ΔaΔt，它可以用来反映乘客乘坐交通工具时的舒适程度，当交通工具的急动度为零时乘客感觉最舒适。如图所示为某新能源汽车从静止开始启动的一小段时间内的急动度j随时间t变化的规律。下列说法正确的是（　　）

A．0~5.0s时间内汽车的加速度增加的越来越慢
B．5.0~10.0s时间内汽车的加速度均匀增大
C．12.0s时刻汽车的加速度为零
D．5.0~12.0s时间内汽车加速度的变化量大小为4.8m/s2
3．一辆摩托车由静止开始做直线运动，它的速度一时间图象如图所示（图中的曲线为拋物线的一部分），则（　　）

A．t1时刻摩托车的速度最大，加速度也最大

B．0~t1内摩托车做匀加速运动
C．摩托车在t1~t2内运动的速度与位移同向，速度与加速度反向
D．摩托车在0~t1内速度、加速度与位移反向
4．如图所示为某质点运动的速度—时间图象，下列有关质点运动情况的判断错误的是（　　）

A．0～t1时间内加速度为正，质点做匀加速直线运动
B．t1～t2时间内加速度为正，质点做匀减速直线运动
C．t2～t3时间内速度为负，质点做匀加速直线运动
D．t3～t4时间内速度为负，质点做匀减速直线运动
5．如图所示，水平传送带以恒定速率v0向右运转，一工件从传送带左端M处以水平速度v1冲上传送带，最后从右端N处离开传送带。传送带各处粗糙程度相同，则该工件从M运动到N过程中的v-t图像，一定错误的是（　　）

A．   B．   C．   D．  
6．在足球训练场上，某球员将足球以初速度v0踢出后，立即从静止开始沿直线加速向足球追去，经一段时间后追上了还在向前滚动的足球。球员和足球这一运动过程的v−t图像如图所示，关于这一过程的判断正确的是（　　）

A．球员的速度变大，加速度变大 B．球员的最大速度可能等于v0
C．球员的平均速度一定小于v02 D．t0时刻球员追上足球
7．a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的x-t图像如图所示，其中图线c是一条x=0.6t2的抛物线。有关这三个物体在0~5s时间内的运动，下列说法正确的是（　　）

A．a物体做匀加速直线运动
B．a、b两物体都做匀速直线运动，且速度相同
C．c物体做加速度越来越大的加速直线运动
D．t=5s时，a物体与c物体相距15m
8．下图为一质点的x−t图像，图中与之对应的v−t图像是（　　）

A．   B．  
C．   D．    
9．如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是（　　）

A．甲图中，物体在0~t0这段时间内的平均速度小于v02
B．乙图中，物体的加速度为1m/s2
C．丙图中，阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量
D．丁图中，t=3s时物体的速度为25m/s

1．如图所示的x-t图像反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处，则不正确的是（　　）

A．甲车与乙车t=0的时刻相距80m
B．0~10s过程中乙车的初速度大小为16m/s
C．0~5s过程中乙车的平均速度小于12m/s
D．0~10s过程中甲车的位移大小为40m
2．如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的x−t图像如图乙所示，0~5s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，则（    ）

A．A车运动初速度为0
B．A车运动的加速度大小为1ms2
C．t=4s时，两车的速度相同
D．A车追上B车的最短时间为7.2s
3．甲、乙两辆汽车沿同一平直公路同时同地同向行驶，两汽车的速度随时间变化如图所示，则（　　）

A．两车再次相遇前最大距离为36m
B．两车运动10s时再次相遇
C．两车再次相遇时离出发点100m
D．甲车自出发后，不可能再追上乙车
4．要想富先修路，为了乡村振兴，农村公路正逐渐优化。甲、乙两车在双车道平直公路上同向行驶，其v−t图像如图所示。已知两车在t=0时，甲车在乙车前7.5m，则（　　）

A．在t=1s时，甲车在乙车后
B．两车第一次并排行驶的时刻是t=2s
C．在t=3s前，甲车在乙车前方
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
5．在同一平直路面上，从同一地点沿同方向运动的两辆汽车A、B，A车的运动图像如图线a所示，B车的运动图像如图线b所示，则（　　）

A．0~2s内A车的速度大，2s后B车速度大
B．t=2s时，两车相遇
C．t=4s时，两车相遇
D．A车的初速度是2m/s，加速度是1m/s2
6．（多选）甲乙两车在同一条平直公路沿两条平行直线朝同一方向运动，甲车在后，乙车在前，t=0时刻两车相距x0=34m，甲车以v1=20m/s的初速度，a1=−2m/s2的加速度做匀减速直线运动刹车，乙车从静止出发，a2=1m/s2的加速度做匀加速直线运动，下列说法正确的是（    ）
A．两车相遇时甲车一直在运动 B．两车第一次相遇时间是2s
C．两车第二次相遇时甲车位移为100m D．两车第二次相遇时间是233s

7．（多选）甲、乙两车在同一车道上同向匀速行驶，t=0时刻，在前面以速度为10m/s行驶的甲车突然做加速度大小为a=2m/s2的匀减速直线运动，在后面以20m/s速度行驶的乙车司机看到甲车减速立马踩下刹车（司机反应时间忽路不计）做匀减速直线运动，则（　　）
A．若两车不相撞，甲车在前6s内的位移大小为25m
B．若两车刹车前相距12m，乙车以加速度6m/s2刹车，可能在t=3s时撞上甲车
C．若两车刹车前相距25m，则乙车的加速度至少4m/s2才能避免两车相撞
D．若两车刹车前相距37.5m，则乙车的加速度至少3m/s2才能避免两车相撞
8．（多选）如图为甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移—时间图像，由图像可知(    )

A．乙开始运动时，两物体相距20 m
B．在0～10 s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大
C．在10 s～25 s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大
D．两物体在10 s时相距最远，在25 s时相遇
9．（多选）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度v0从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的v−t图线，根据这些信息，可以判断（　　）

A．5s末两车速度均为9m/s B．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇 D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
10．（多选）某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，下图是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的运动位移时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为0,x0的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为t1,x1。则下列说法正确的是（　　）

A．t1时刻甲物块速度为x1t1
B．甲物块在做匀加速直线运动的加速度为x1−x0t12
C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为t2=x0t1x1−x0
D．如果两个物块只相遇一次，则必有x1=2x0
11．（多选）如图所示是A、B两物体的速度时间图像，则下列说法错误的是（　　）

A．若A、B两物体0时刻从同一位置开始运动，则以后它们一定能相遇
B．若0时刻A在B的前方某一位置，则以后它们一定不能相遇
C．若0时刻B在A的前面且两者相距60m，则以后它们一定能相遇两次
D．若0时刻B在A的前面且两者相距30m，则以后它们一定能相遇三次
12．蓝牙是一种无线技术，可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换。某同学用安装有蓝牙设备的玩具汽车A、B（均视为质点，且在图中未画出）进行实验，在间距d=5m的两条平直轨道上，A车自O1点从静止开始以大小a=2m/s2的加速度匀加速向右运动，B车自O2点前方x0=10m处的O3点以大小v0=4m/s2的速度向右做匀速直线运动，O1、O2连线与轨道垂直，两车间的距离超过13m时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。求：
（1）当B车在A车前，两车间的最大距离；
（2）当B车与A车并驾齐驱时经历的时间；
（3）两车并驾齐驱前能通信的最长时间。

13．在寒冷的冬天，路面很容易结冰，在冰雪路面上汽车一定要低速行驶。在冰雪覆盖的路面上，车辆遇紧急情况刹车时，车轮会抱死而“打滑”。如图所示，设某汽车以36km/h的速度行驶至一斜坡的顶端A时，突然发现坡底前方有一行人正以2m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，但因冰雪路面太滑，汽车仍沿斜坡滑下。已知斜坡倾角θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），斜坡长sAC=11m，司机刹车时行人距坡底C点距离sCE=7m，从厂家的技术手册中查得该车轮胎与冰雪路面的动摩擦因数约为0.5，假设斜坡与水平路面平滑连接，司机从C点进入水平路面时速率不变，g取10m/s2。求：
（1）汽车沿斜坡滑下的加速度大小。
（2）汽车到达坡底C时的速度大小及经历时间。
（3）试分析此种情况下，行人是否有危险。