1、第八章曲线积分与曲面积分测试题
一、选择题（每题3分，共15分）
1、设为则等于（ ）
（A） （B） （C） ( D )
2、 设曲线是区域D的正向边界，那么的面积为（ ）
（A） （B） （C ）（D）
3、设函数在单连通域上具有一阶连续偏导数，则曲线积分在内与路径无关的充要条件是
(A) (B) (C ) (D )
4、设是平面上的圆域则等于
(A); (B) (C ) (D )
5、已知曲面为在第一卦限的部分下侧，则等于( )
2、
(A) (B)
(C) (D )
二、填空题（每题3分，共15分）
6、设为取正向的圆周,则曲线积分
7、设均匀物质曲线为球面在第一卦限部分的边界曲线,曲线的线密度,则物质曲线的质心为
8、 设=, =
9、 设是平面在第一卦限中的部分,则=
10、 设是上半球面的上侧,则曲面积分
三、计算题（每题5分，
3、共30分）
11、 其中为由圆周、直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
12、 其中为球面与平面的交线。
13、 , 其中为椭圆从点经点到点的弧段。
14、 ， 是以为起点,为终点的下半圆周。
15、 ,其中是单位球面。
16、 ,其中是上半球面的上侧。
四、解答题（每题10分，共40分）
17、设曲线积分与积分路径无关, 连续可导,且,求
。
18、 在过点和点的曲线族中,求一条曲线,使沿此曲线从点到点的积分的值最小。
19、证明是某一函数的全微分，并求出一个原函数。
20、求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。
4、
参考答案：
一、选择题：
1、B；2、C；3、D；4、D；5、B。
二、填空题：
6、；7、；8、； 9、 ；10、。
三、计算题
11、
。
12、 所以
。
13、令则由变到，故
。
14、显然，，由Green公式得
，则
15、显然，
=, 所以
。
16、作辅助曲面下侧,设曲面和围成的空间闭区域为,在平面上的投影为,由高斯公式得
。
四、解答题
17、,所以 , ,又故,于是, 并且有
。
18、。
,,所以时最小, 所求曲线为.
19、，
，
原式在全平面上为某一函数的全微分，取
，
==。
20、, Dxy: x2+y2£a2,
,
。
4
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