高等数学答案重积分.doc

高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
§7.1 二重积分的概念与性质
一． 单项选择题
1. 设，则（ C ）.
（A） （B） （C）0 （D）
2. 　　B　　，其中是圆域的面积，.
（A） （B） （C） （D）无法判断

二． 填空题
1. 函数在有界闭区域上的二重积分存在的充分条件是在上 连续 ，在此条件下，必有点，使得
2. 二重积分的几何意义是

3. 设则由二重积分的几何意义可知： 4
4. 比较下列各题中两个积分的大小：
（1）由轴，轴与直线围成，则.
（2）由圆周围成，则.
（3）是顶点为三角形区域，.
5. 若在连续，.
6. 设则 0 .

三． 计算题：利用二重积分的性质，估计下列各二重积分的值
（1）其中
解：

（2） 其中
解：

四． 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值
（1）其中；
解：

（2）其中.
解：

高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
§7.2 二重积分计算法（一）
一． 单项选择题
1. 更换积分次序后得（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
2. 设连续且其中由围成的区域，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
3. 设，则（ D ）
（A） （B） （C） （D）

二． 填空题
1. 设，则.
2. 设为连续函数，更换积分次序：
（1）.
（2）

3. 更换积分次序计算二次积分.
4. 更换积分次序计算二次积分.
5. 由围成，则积分.
三． 计算题

1. 画出积分区域，并求，其中是由直线及所围成的闭区域。
解：

2. 计算，其中.
解：

3. 求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积。
解：

4. 设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。
解1：
解2：
高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
§7.2 二重积分计算法（二）
一． 单项选择题
1. 设在上连续，则（ D ）.
（A） （B） （C） （D）
2. 将极坐标系下的累次积分化为直角坐标下累次积分（ C ）.
（A） （B）
（C） （D）
3. 设为及轴围成的第一象限部分，化重积分为极坐标系下的二次积分（ B ）.
（A） （B）
（C） （D）
二． 填空题
1. 设在上连续，将二重积分化成极坐标形式下的二次积分。
（1）当，则.
（2）当，其中则
.
2. 从二次积分为极坐标形式，
.
3. 化二次积分为极坐标形式，计算

4. 计算，其中由圆周及坐标轴所围成的在第象限内的面区域.
5. 计算.
三． 计算题
1. 计算，其中圆周及直线所围成的在第象限内的闭区域。
解：

2. 设，计算.
解：

3. 计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.
解：

4. 设平面薄片所占的闭区域是由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量.
解：

高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
§7.3 三重积分的计算（一）
一． 选择题
1. 设，则（ C ）.
（A） （B） （C） （D）
2. 设；，则下述等式正确的是（ C ）.
（A） （B）
（C） （D）
3. 设为连续函数，则（ A ）.
（A） （B） （C） （D）
二． 填空题：
1. 设为闭区域上的连续函数，由曲面及平面围成,则化为三次积分为 .
2. 由，围成，则.（截面法）
3. 设由曲面及所围成，化为三重积分 为三次积分.
4. 若则可化为三次积分 ，其值为.
5. 设是由和所围成的空间闭区域（），化三重积分为直角坐标系下的三次积分 .

三． 计算题：
1. 计算，其中有平面及所围成的四面体.
解：

2. 计算，其中由锥面与平面所围成的闭区域.
解：

3. 计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域.

解：
四． 计算，其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.
解：

高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
§7.3 三重积分的计算（二）
一． 多项选择题
1. 球面坐标系下， B ，其中.
（A） （B）
（C） （D）
2. ，则 A .
（A） （B） （C） （D）
3. 柱面坐标下，计算，为围成的立体，则正确的解法为 B .
（A） （B）
（C） （D）
二． 填空题：
1. 设函数在上连续，则在球坐标系下的三次积分为.
2. .
3. 设连续，则的柱坐标形式为，球坐标形式为.
4. 设由与所围成的闭区域，则.
5. 将三重积分用三种坐标系化为累次积分，其中是由和所围成的区域，直角坐标，柱面坐标
，球面坐标.
三． 计算题：
1. 求，其中是由和三坐标面在第一象限内所围成的空间闭区域。
解：

2. 计算，其中是由柱面与平面所围成的闭区域。
解：
3. 求由曲面与所围成立体的体积
解：
4. 球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与这点到球心的距离成正比，求这个球体的质量。
解：
四. 设为连续函数，求证
证明：
高等数学课外习题 第七章 重积分
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§7.4 重积分应用举例
一． 单项选择题
1. 曲面包含在圆柱内部的面积（ B ）.
（A） （B） （C） （D）
2. 由直线所围成的质量分部均匀（设面密度为）的平面薄板，关于轴的转动惯量（ C ）.
（A） （B） （C） （D）
3. 由锥面与平面所围成的圆锥体的形心（ C ）.
（A） （B） （C） （D）
二． 填空题：
1. 若，，则.
2. 设平面薄片所占的闭区域是由直线和轴所围成的，其面密度则该薄片的质量=.
3. 以面上的圆周围成的闭区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.
4. 底圆半径相等的两个直交圆柱面所围立体的表面积.
5. 求锥面被柱面割下部分面积.
6. 设均匀薄片（面密度为常数1）所占为区域，则对轴的转动惯量，对轴的转动惯量.
三． 计算题：
1. 求球面含在圆柱面内部的那部分面积。

（原习题集P43，二、1）
2. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求该薄片的重心。

（原习题集P43，二、2）
3. 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量。
解：（原习题集P44，二、3）
4. 在均匀半圆形薄片的直径上拼接一个一边与直径等长的均匀矩形薄片（材料相同），为使整个薄片重心正好落在圆心上，问接上的矩形另一边的长度等于多少？
解：（原习题集P44，二、4）
5. 设物体由及围成，其密度为常数，求该物体关于轴的转动惯量.

高等数学课外习题 第七章 重积分
系 专业 班 姓名 学号
习 题 课
一． 单项选择题
1. （ C ）.
（A） （B） （C） （D）
2. （ B ）.
（A） （B） （C） （D）
3. 平面区域，，则=（ C ）.
（A） （B） （C） （D）
二． 填空题
1. 求极限 1 .
2. 二次积分的极坐标形式是 ；
二次积分的极坐标形式是.
3. 积分的柱面坐标形式是 .
4. 若连续可导，.
5. 设物体占空间区域，密度函数为，求该物体的质量.
三． 计算题
1. 计算，其中.
解：（原习题集P45，二、1）

2. 计算，其中是由曲面与所围成的闭区域.
解：（原习题集P45，二、2）
3. 计算，其中.
解：（原习题集P50，三、2）

4. 计算由锥面与柱面及围成区域.
解：（原习题集P50，三、3）

高等数学课外习题 第七章 重积分
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习 题 课（课外作业）
一． 选择题
1. 设函数在闭区域 上连续可导，且，则 A .
（A） （B）0 （C） （D）
2. 设为及轴围成的第一象限部分，化为二重积分为极坐标系下的二次积分（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
3. 设空间区域，，则下列等式不成立的是（ D ）.
（A）
（B）
（C） （D）
二． 填空题：
1. 设，则 0
2. 交换累次积分次序
3. 设，则
4. 三次积分的柱面坐标形式为 ，球面坐标形式为
三． 计算题
1. 将极坐标累次积分化成直角坐标形式.
解：（原习题集P47，二、1）
2. 计算是由曲面与平面围成的闭区域.
解：（原习题集P48，二、2）

3. 计算.
解：（原习题集P48，二、3）

4. 由曲线绕轴旋转后得一曲面，求到所围成立体的重心坐标（假设密度为常量）.
解：（原习题集P48，二、2）