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重过程 多探究
—— 新课程球面距离问题研究性教学的实践与思考
江苏省盐城中学 王琪 224001

新的课程标准十分强调“过程”一词，但以往一些教师在教学中往往忽视“过程”．学生在学习中缺少主动的参与和积极的思考，更缺少依靠自己的实践去积极获得知识的过程．学生只能靠一根拐杖指引着，离开了拐杖就会失去了方向．学生要的是亲身经历、自己感受、独立探索的过程．因此，教师要积极全面地准备“过程”，在“过程”中培养学生分析问题、探索问题、解决问题的能力．下面以新课程《数学》第二册（下Ａ）Ｐ６６球面距离教学为例，谈几点看法．
１　设计问题情境，步步设疑，步步探究
一般教者不强调过程可以这样教：
（１） 先简单介绍球面上经度和纬度的概念．
（２）接下来直接给出球面距离的概念，即在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．
如果强调过程，那么可以设置这样的教学情景：
教者先引用生活中实例来生动地导入球面距离这一概念，挂出一幅世界地图，并介绍这样一个事例：1993年4月，上海东方航空公司的一架班机地从上海飞往美国洛杉矶的途中突遇强气流，使飞机上下颠陂造成部分乘客受伤，飞机被迫在阿拉斯加紧急降落．请一位同学到黑板前，将飞机的飞行路线以及阿拉斯加的位置在黑板上画出来，并请同学们观察一下飞行的路线．
学生马上提出疑问：上海和洛杉矶都在北纬30度稍北的位置，似乎沿北纬30度的圆弧飞行距离最近．为什么飞机要从上海向北飞到阿拉斯加，再由阿拉斯加飞到洛杉矶呢？岂不是飞机绕道吗？那么又是怎样的一段的弧最短呢？起初比较多的同学认为应是沿着同一纬度圈的一段圆弧，但再一次仔细观察发现，飞机航行的那段弧的半径好象要大得多，因而，学生又产生了新的疑问．
２　让学生动手操作，探究问题，导入概念
我们可以用实验的手段来验证最短的一段弧应是大圆弧．
方法一：用橡皮筋在地球仪上实验，将橡皮筋两头置于上海和洛杉矶，看一看，什么时候橡皮筋绷得最松．同学们不难发现橡皮筋沿着大圆的时候绷得最松．
方法二：尺规作图，用实验的手段来验证，分别以为圆心作经过A、B的圆弧．学生不难发现：随着半径的增大，弧长越来越短，即两点之间的弧，以较大半径的弧较短．
同时，在讲地球的经纬度时，应结合地球仪或挂图指出与它们相应的角．某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与００经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数．某地点的纬度，就是经过这点的球半径与赤道所在平面所成角的度数．
另外，关于两点的球面距离的概念，原立体几何必修本曾有这样的叙述：“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．” 新课程中对以上叙述作了些修改，即将“最短距离”改为“最短连线”．这样改动的目的是使行文更为科学，因为在未定义球面距离之前谈球面上的最短距离，逻辑上有些不顺，且距离有无最小值是个需讨论的较复杂的问题．
３　通过“一题多变“进行探究，让学生掌握地球上任意两地球面距离的求法
怎样求地球上两地间的距离即球面距离呢？关键是把经线、纬线及地球上两地的距离这些实际问题，转化为立体几何问题来解决．其基本思路是回到定义中去．按球面距离的定义，它是连结球面上两点的大圆的劣弧长，为此首先要求出该劣弧所对的圆心角．
新课程《数学》第二册（下Ａ）Ｐ６６例１是求北纬４００纬线的长度；练习题２是求赤道上两地的球面距离．由此可多变为求以下各种情形的球面距离．
３.1 赤道或同一经线上两地的球面距离
例１　地球上有Ａ、Ｂ两地，Ａ地位于东径1200，北纬700，Ｂ地位于东径1200，北纬300，求A、B两地的球面距离（地球的半径为R）．
300
400
A
B
O
图1
分析　Ａ、Ｂ两地在同一经线上，纬度差为400就是Ａ、Ｂ两地的球心角，所以Ａ、Ｂ两地的球面距离为．
例2 地球上有Ａ、Ｂ两地，Ａ地位于东径1200，北纬300，Ｂ地位于西径500，北纬400，求A、B两地的球面距离（地球的半径为R）．
分析 如图1，因为A、B两地的经度差为1800，所以A、B两地的球心角为1800 - 400 - 300=1100，可得A、B两地的球面距离为．
３.2 相同纬度，不同经度两地的球距离
O
R
P
Q
O1
图2
例3 设地球O的半径为R，P、Q是地球上两地，P在东径200北纬450，Q是东径1100北纬450，求P、Q两地的球面距离．
分析 如图2，要求P、Q两地的球面距离，需求球心角∠POQ，要求∠POQ需求PQ的长．由已知，在△PO1Q中，∠PO1Q=1100 - 200=900，PO1=QO1=，即有PQ=R．在△POQ中，OP=OQ=PQ=R，从而有∠POQ=600，所以P、Q两地的球面距离为．
３.3 不同纬度，不同经度两地的球距离
例4 设地球O的半径为R，A、B是地球上两地，A在西径100，北纬450，B是东径1250的赤道上，求A、B两地的球面距离．
分析 如图3，先求AB，再求∠AOB，进而得A、B两地的球面距离．

O
A
C
H
B
O1
图3
设OC是西经100经线与地轴确定的平面和赤道面的交线，过A作AH⊥OC垂足为H，则AH⊥面COB，连HB．
在Rt△AO1OK ，由∠O1AO=450，AO=R得，AO1=OO1=，又AH=，∠HOB=1350，HO=，即有
HB2=OH2+OB2-2OH•OB•cos1350=，
则，
在△AOB中，AO=BO=R，AB=，从而有∠AOB=1200．
所以A、B两地的球面距离为．
4 贯穿学科间联系，进行探究，培养学生创造性思维
在理科综合题中，地理学科经常与数学学科相综合，要顺利解决地球经纬度及球面距离问题，需要把地球理想化为标准球体后，再灵活运用下述知识：
（1）地球仪上各点对应的地理位置符合“上北下南左西右东”．
（2）经线南北方向，格林尼治所在经线为00线，向东为东经，度数从00到1800；向西为西经，度数从00到1800，东经1800线与西经1800线重合．纬线东西方向，赤道是00的纬线，北极点称为北纬900点，南极点称为南纬900点．
（3）地球的自转方向是由西向东．
例5 （2002年高考上海大综合理科三）据报道，中国已初步选定朗伊尔宾（北纬780、东经150附近）为“中国北极科学探险考察站”站址．
1．根据中国北极科学探险考察站经纬度位置判断，它位于上海的（ ）
A．东南方向 B．东北方向 C．西北方向 D．西南方向
2．“坐地日行八万里”。在毛泽东诗词中的“八万里”实指赤道周长约40000km，据此可估算我国北极科学探险考察站站址至北极的距离约为（ ）．
A．666km B．1332km C．2664km D．3996km
3．北极地区寒风凛冽，考虑到当地所处风带的盛行风向，中国北极科学探险考察站营地建筑的门窗应该避开的朝向是（ ）
A．东南方向 B．西南方向 C．西北方向 D．东北方向
分析 1．做为上海考生，应知道上海所处的地理位置为东经1200、北纬310附近．而考察站的地理位置为东经150、北纬780附近．由知识（1）和知识（2）可知，考察站在上海的西北方向，选C．
2．因我们把地球理想化为标准球体，它的任意一个大圆周长相同，考察站至北极的纬度线相差900 - 780= 120，易从3600对应的大圆周长4×104km算出120对应1332km，选B．
3．如果地球没有自转，由于北极处的气温低，南边的气温高，南边的热空气上升，北极处的冷空气向南移．而实际上，在地球由西向东自转的影响下，北极处的冷空气相对地球还有向西的运动．因此，此极处的冷空气相对地球的运动方向是既向南，又向西，表现出指向西南的东北风．考察站营地建筑的门窗应该避开东北方向，选D．
注 其中第二问实质上就是求赤道上两地的球面距离问题．
在教学中，教师要重视“过程”，让学生有一个积极思考的过程，有一个乐于探究的过程，教材中很多地方是需要教师去挖掘、去钻研的．一堂好的数学课，应当是在传授知识的同时，注重培养学生的能力，开发学生的智力，陶冶学生的情操，在教学过程中能体现出“自主性、活动性、探究性、互动性和开放性”等现代教育理念．为了实现这一目标，教师要在课堂教学设计上下功夫，选择某些聚焦性问题，给出多种变换，引入学生作深入的探究．