1、第四章 导数及其应用综合检测
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．D
5．C
6．C
7．A
8．C
9．ABD
10．BD
11．BCD
12．ABD
13．
14．3
15．
16．
17．【详解】（1）依题意，，，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，函数的递增区间是，
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（2），，，
因为当时，，则，因此，
求导得：，显然，于是，
从而，函数在上单调递增，无极值点，
所以函数在上的极值点个数为0.
18．【详解】（1）的定义域为，
若，当时，
2、单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
（2）因为有3个零点，所以，
又的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以，，
解得，
此时，，
故函数在区间上各有一个零点，
即函数在区间上各有一个零点，满足要求；
所以的取值范围为.
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
3、．
19．【详解】试题分析：（1）分离参数法，转化为.（2））由（1）得，当时，有，即.所以只需证明，即证，.构造函数可证．右边构造函数可证．
试题解析：（1）由，得 .
整理，得恒成立，即.
令.则.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴，即.
∴的取值范围是.
（2）由（1），当时，有，即.
要证，可证，，
即证，.
构造函数.
则.
∵当时，.∴在上单调递增.
∴在上成立，即，证得.
∴当时，成立.
构造函数.
则 .
∵当时，，∴在上单调递减.
∴，即.
∴当时，成立.
综上，当时，有.
【点睛】解题时要学会用第一问
4、己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当时，有，即.要证，只需证，，即证，.
同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形．
20．【详解】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
5、
则，
所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
21．【详解】（1）
可得，，
①当时，由，，
此时在上为增函数，在上为减函数；
②当时，恒成立，此时在上为增函数；
③当时，由或，，
此时在上为增函数，在上为减函数；
④当时，由或，，
此时在上为增函数，在上为减函数；
综上所述：当时，在上为增函数，在上为减函数；
当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数；
（2）由（1）可得：，，
，
欲证，即证，只需证，
记，，
可得，即在为减函数，
∴，即得证.
所以结论得证.
【点睛】方法
6、点睛：利用导数研究函数的单调性的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和；
③写出单调区间.
利用导数研究解决不等式恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
22．【详解】（1）因为，所以.
所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，
所以，解得..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（3）
定义域为
当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当时，
在（0，）上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一个零点（）.
当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，
综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.
不妨设两个零点
由，所以，
所以，所以，
要证，
只需证，
只需证，
由，
只需证，
只需证，
只需证，
令，只需证，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，
即成立，
所以成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧.
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