每日一题.doc

每日一题
1、（2010年青岛21题）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
A
D
B
E
F
O
C
M
第21题图

（本小题满分8分)
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．
∵AE = AF，
∴．
∴BE＝DF． 4分
（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．
∵BE＝DF，
∴BC－BE = DC－DF. 即．
∴．
∵OM = OA，
∴四边形AEMF是平行四边形．
∵AE = AF，
∴平行四边形AEMF是菱形． 8分

每日一题
2、（2010辽宁丹东20题） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD． 3分
又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE． 5分
AE=CD． 6分
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32． 8分
解得， AE=6 （cm）． 10分

每日一题
3、（2010眉山21题）．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

解：（1）四边形OCED是菱形．…………（2分）
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，…………（3分）
又 在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．…………………（4分）
（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分）
∴OE∥BC
又 CE∥BD
∴四边形BCEO是平行四边形
∴OE=BC=8……………………………………………（7分）
∴S四边形OCED=……………（8分）

每日一题
4、（2010年宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转
60°得到BN，连接EN、AM、CM.E
A D
B C
N
M
F
E
A D
B C
N
M
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

（满分13分）解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………7分
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝. ………………12分
解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为. ………………13分
每日一题 5
(2010重庆市潼南县24题) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中

∴ △ABE≌△DAF-----------------------4分
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900
∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6分
在正方形ABCD中， AD∥BC
∴∠1=∠AGB=300
在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2
∴AF= DF =1----------------------------------------8分
由(1)得△ABE≌△ADF
∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分