高考数学四海八荒易错集专题17坐标系与参数方程文.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 17 坐标系与参数方程1在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是xtcos，ytsin(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|10，求l的斜率解(1)由x cos，y sin 可得圆C的极坐标方程212cos11 0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)2已知圆C的极坐标方程为2 22sin440，求圆C的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为22222sin 22cos 40，化简，得22 sin 2cos40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x 2y4 0，即(x1)2(y 1)26，所以圆C的半径为6.3 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为cos4 的直线与曲线xt2，yt3(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解极坐标方程cos4 的普通方程为x 4，代入xt2，yt3，得t2，当t 2时，y8；当t 2时，y 8.两个交点坐标分别为(4,8)，(4，8)，从而AB16.4在直角坐标系中圆C的参数方程为x2cosy22sin (为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程解由参数方程消去 得圆C的方程为x2(y2)2 4，将x cos，ysin，代入得(cos)2(sin 2)24，整理得4sin.5已知曲线C：x33cos，y3sin(为参数)，直线l：(cos 3sin )12.(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值易错起源1、极坐标与直角坐标的互化例 1、在极坐标系中，曲线C1：(2cossin)1 与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值解(2cos sin)1，即2cossin 1 对应的普通方程为2xy10，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在2xy10 中，令y0，得x22.将22，0 代入x2y2a2得a22.【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos(4)32和sin2 8cos，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长解cos(4)coscos4 sin sin422cos22sin 32，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又 sin28cos，2sin2 8cos.曲线C对应的直角坐标方程是y28x.【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性【锦囊妙计，战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcosysin，2x2y2tan yxx.易错起源2、参数方程与普通方程的互化例 2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x1 3cost，y 23sint(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2sin4m(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值【变式探究】已知直线l的参数方程为x42t，yt2(t为参数)，P是椭圆x24y21 上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解由于直线l的参数方程为x42t，yt2(t为参数)，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆x24y21 上的任意一点，故可设P(2cos ，sin)，其中 R.因此点P到直线l的距离是d|2cos 2sin|12 2222 sin45.所以当 k4，kZ 时，d取得最大值2105.【名师点睛】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围【锦囊妙计，战胜自我】1直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)2圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，0 2)3圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为x2pt2，y2pt(t为参数)易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用例 3、在直角坐标系xOy中，曲线C1：xtcos，ytsin(t为参 数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，曲线C3：23cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y2 23x0.联立x2y22y 0，x2y223x0，解得x0，y0，或x32，y32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(23cos，)所以|AB|2sin 23cos|4 sin3.当 56时，|AB|取得最大值，最大值为4.【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x312t，y32t(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin.(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【名师点睛】1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【锦囊妙计，战胜自我】解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等1已知圆的极坐标方程为4cos，圆心为C，点P的极坐标为(4，3)，求CP的长解由 4cos 得 24cos，即x2y2 4x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为(4，3)可得点P的直角坐标为(2,23)，CP23223.2在极坐标系中，求圆8sin 上的点到直线3(R)距离的最大值解圆 8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y 4)216，直线 3(R)化为直角坐3在极坐标系中，已知三点M(2，3)、N(2,0)、P(23，6)(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上解(1)由公式x cos，y sin 得M的直角坐标为(1，3)；N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，3)(2)kMN32 13，kNP30323.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上4已知直线l的参数方程为x 1t，y1t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos24 0，3454，求直线l与曲线C的交点的极坐标解直线l的直角坐标方程为yx2，由 2cos24 得 2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2 代入双曲线方程解得x 2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)5以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是xt 1，yt 3(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，求直线l被圆C截得的弦长解直线l的参数方程xt1，yt3(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40 的距离为d222.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为2r2d222.6在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x112t，y32t，(t为参数)，椭圆C的参数方程为xcos，y2sin(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学7已知直线l：x 532t，y312t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos 等价于 22cos.将 2x2y2，cosx代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将x532t，y312t代入式，得t253t 180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.8已知直线l的参数方程是x2t，y4ta(t为参数)，圆C的极坐标方程为42cos 4.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为2，求实数a的值解(1)由 42cos 4，得 4cos 4sin.即 2 4cos4sin.由xcos，ysin 得x2y24x4y0，