2017年长春市高三二模数学（理）试题.doc

长春市普通高中2017届高三质量监测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B 2. C 3. D 4. D 5.C 6. B
7. A 8. C 9. D 10. A 11. B 12. A
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.
【试题解析】B　题意可知，，. 故选B.
2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.
【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C.
3. 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.
【试题解析】D　A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.
4. 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.
【试题解析】D　圆的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为.故选D.
5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.
【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为. 故选C.
6. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.
【试题解析】B　由已知，点在边的中位线上，且为靠近边的三等分点处，从而有，，，有.故选B.
7. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.
【试题解析】A　有已知，.故选A.
8. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.
【试题解析】C　由已知，该函数图象关于点对称.故选C.
9. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.
【试题解析】D 由图可知D错误.故选D.
10. 【命题意图】本题主要考查几何概型.
【试题解析】A 设，则，由余弦定理可求得，有，所以扇形的面积为，扇形的面积为，从而所求概率为.故选A.
11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.
【试题解析】B　由已知双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，△的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故△的周长的最小值为10.故选B.
12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.
【试题解析】A　令，有，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且. 故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
简答与提示：
13. 【命题意图】本题考查定积分的求解.
【试题解析】.
14. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.
【试题解析】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.
15. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题.
【试题解析】若甲乙同时参加，有种，若甲乙有一人参与，有种，从而总共的发言顺序有种.
16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.
【试题解析】如图，由已知，设三角形外接圆圆心为，由正弦定理可求出三角形外接圆半径为，为边中点，进而求出，设四棱锥的外接球球心为，外接球半径的平方为，所以四棱锥外接球半径为.

三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n项和有关的不等式.
【试题解析】(1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （6分）
(2) 由(1)知，从而，，有，
所以. （12分）

18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出列联表如下：

抗倒伏
易倒伏
合计
矮茎
15
4
19
高茎
10
16
26
合计
25
20
45
经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （4分）
(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则的可能取值为0,1,2,3,4.

，，，
，
即的分布列为：

0
1
2
3
4

(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占，即每次取出高茎玉米的概率均为，设取出高茎玉米的株数为，则，即，. （12分）

19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】（1）证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面. （6分）
（2） 由已知可得如图所示建立空间直角坐标系，由已知，，，，.有，，，设平面的法向量，有，令，得，
设平面的法向量，有，令，得，二面角的余弦值.（12分）

20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以. （4分）
(2) 假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，，当时，为定值，所以. （12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以. （4分）
(2)
①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；
②当时，由得，
当时，，所以为增函数，
当时，，所为减函数，
所以当时，取得极小值
又因为存在两个不同零点，所以，即
整理得，
作关于直线的对称曲线，
令

所以在上单调递增，
不妨设，则，
即，
又因为且在上为减函数，
故，即，又，易知成立，
故. （12分）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】 (1) 由得，该曲线为椭圆. （5分）
（2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，
，所以，从而，由于，所以. （10分）
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】 (1) 令，可知，故要使不等式的解集不是空集，
有. （5分）
（2）由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时，，可得，当时，，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立.
（10分）