高考导数专题(含详细解答).doc

导数及其应用
导数的运算
1. 几种常见的函数导数：
①、 （c为常数）； ②、 （）； ③、= ；④、 = ； ⑤、 ； ⑥、 ； ⑦、 ； ⑧、 .
2. 求导数的四则运算法则：
；； 注：① 必须是可导函数.
3. 复合函数的求导法则： 或
一、求曲线的切线（导数几何意义）
导数几何意义：表示函数在点(，)处切线L的斜率；
函数在点(，)处切线L方程为
1.曲线在点处的切线方程为（  ）。
A: B: C: D: 
答案详解B正确率: 69%, 易错项: C
解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为B。
2.

变式一：
3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．

4.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.

变式二：
5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .

6.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .

7.已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是
A、[0,) B、 C、 D、

变式三：
8. 已知直线y =x＋1与曲线相切，则α的值为( )
A.1 B. 2 C.－1 D.－2

9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或

10.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
A、64 B、32 C、16 D、8

11.（本小题满分13分） 设.（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值.

12.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .

二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数在某个区间D内可导，
如果＞0，则在区间D上为增函数；
如果＜0，则在区间D上为减函数；
如果=0恒成立，则在区间D上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式＞0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式＜0的解集与函数定义域的交集，就是的减区间.
1、函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.

2.函数的单调减区间为 .

3.已知函数，，讨论的单调性。
答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式 。
当，即时， 对一切都有。此时，在上是增函数；
当时，，此时在上也是增函数；
当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。

此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。
解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。
本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。
首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。
4. 已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。
答案详解（Ⅰ）当时，，，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。
（Ⅱ）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：
（1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值， 且；函数在处取得极小值，且。
（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。
解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。
（Ⅰ）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。
（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法：当函数在点处连续时，
① 如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
② 如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是=0.
2、最值的求法：求f (x)在[a，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；
(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.
注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
1.设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。
令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。
2.函数在 处取得极小值.

3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
（Ⅰ） 求的值；（Ⅱ）求函数的极值.

4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜
边的两个端点，设.
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
答案详解（1），所以时侧面积最大。
（2），所以。当时，递增，当时，递减，所以，当时最大。此时，包装盒的高与底面边长的比值为。
解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。
（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。
（2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。
四、判断函数的零点
1.函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A.（－2，－1）； B.（－1,0）； C.（0,1）； D.（1,2）
答案详解B正确率: 64%, 易错项: C解析:本题主要考查连续函数的性质。
由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。
A项，故A项错误；
B项，，则零点定理知有零点在区间上，故B项正确；
C项，故C项错误；D项，故D项错误。综上所述：符合题意的是B项。故本题正确答案为B。
2.设函数则 ( )
A.在区间内均有零点； B.在区间内均无零点；
C.在区间内有零点，在区间内无零点；D.在区间内无零点，在区间内有零点.
答案详解D正确率: 33%, 易错项: C
解析:本题主要考查导数的应用。
定义域为，先对求导，，解得在单调递减，单调递增。讨论上，在其上单调，，，故在上无零点；讨论上，在其上单调，，，故在上有零点。
故本题正确答案为D。
易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

3.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝
A.－2或2 ； B.－9或3 ； C.－1或1； D.－3或1
答案详解A正确率: 53%, 易错项: C解析:本题主要考查导数在函数中应用。
对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－2。可知，。
故本题正确答案为A。

4. 16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数 的极值点. 已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
答案详解（1）由题设知，且，，解得。
（2）由（1）知，因为，所以的根为，，
于是函数的极值点只可能是或。
当时，，
当时，，故是的极值点，
当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。
（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，

先讨论（）的零点，即与的交点的个数：
时，由图象得的零点为和；
时，由图象得的零点为和；
时，由图象得的零点为，，；
时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；
时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。
令，现在考虑（）的零点：
当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。
当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。
当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。
综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。
解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。
（2）由（1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果。
（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。
五、导数与图像
1．函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是
A． B． C． D．

2.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A ． B． C． D．

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

六、导数与不等式
利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.
1.若，则＞0的解集为
A． B. C. D.
答案详解C正确率: 50%, 易错项: B解析:本题主要考查导数的运算和不等式的解法。
本题的易错点是容易忽视函数的定义域。
的定义域为，，即，结合解得。
故本题正确答案为C易错项分析：本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常见的错误。
2.函数f（x）的定义域为R，f（－1）=2，对任意x∈R，，
则f（x）＞2x＋4的解集为
A.（－1，1） B.（－1，＋） C.（－，－1） D.（－，＋）

3.本小题满分12分）设函数(1) 求函数的单调区间；
(2) 若，求不等式的解集．

4.设函数有两个极值点、且，。
（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点和区域；
（2）证明：。

答案（1），依题意知，方程有两个根，且等价于
，，，。由此得满足的约束条件为

满足这些条件的点的区域为图中阴影部分。

（2）由题设知：
，故，于是，
由于，而由（Ⅰ）知，故，
又由（1）知， 所以。
解析本题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用。
（1）本题应该根据先求出的导函数，然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式，进而便可得出的取值范围，进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。
（2）该题主要利用已知条件，将表示为与其他参量的等式，并利用，便可得到的大致范围，再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。

5. (本题满分12分) 设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：
解: （I），令，其对称轴为.
由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴ 当时，在内为增函数；
⑵ 当时，在内为减函数；
⑶ 当时，在内为增函数；
（II）由（I），

设，
则
⑴ 当时，在单调递增；
⑵ 当时，，在单调递减.
，故．
6.（本小题满分12分）已知函数f (x)=x－ax＋(a－1)，.
（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有.
解析： (1)的定义域为. 2分
（i）若，即，则，故在单调增加.
(ii) 若，而，故，则当时，；
当及时，
故在单调减少，在单调增加.
(iii) 若，即，同理可得在单调减少，在单调增加.
(2) 考虑函数
则
由于1满足。（Ⅰ）求的解析式及单调区间；（Ⅱ）若，求的最大值。
答案详解（Ⅰ），
令得：。
，
得：，
在上单调递增，
 ，，
得：的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅱ）得。
①当时，在上单调递增， 时，与矛盾；
②当时，，，
得：当时，，
 。
令；则，
，，当时，；
当时，的最大值为。
解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。
（Ⅰ）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。
（Ⅱ）构造函数，求导得。讨论在不同取值的情况下函数的单调性，通过求得函数的极值，求得关于表达式的取值范围，再构造函数，求导取极值，得出的最大值。
9设为常数，曲线与直线在点相切。
（1）求的值；（2）证明：当时，。
答案详解（1）由的图象过点，代入得。
由在处的切线斜率为，又，得。
（2）由均值不等式，当时，，故
记，则

令，则当时，。
因此在内是减函数，又由，得，所以，
因此在内是减函数，又由，得，
于是，当时，  。
解析:本题主要考查导数的应用及不等式的证明。
（1）由与直线在点相切得过点，且，解方程即可求出，。
（2）令，注意到，可考虑证明单调递减。对求导数，通过判断的正负研究的单调性。
解读第二问欲证的不等式为：，一般来说，我们的思路是证明（记）且，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在处的切线方程（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就十分自然了。如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取，则，不等式化为，即，求导得，注意到时该式子为零，故有这个因式，通分后对分子因式分解得，有，可得导数小于零，从而不等式获证。
10. （本题满分100分）已知函数（为常数是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ），其中为的导函数，证明：对任意，。
答案详解（Ⅰ）由，得，，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
令，，当时，；
当时，，又，所以时，；时，；
因此 的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）因为 ，所以 ，。
因此对任意，等价于，
由（Ⅱ），，所以，。
因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减。
所以 的最大值为，故。
设，因为，所以时，，单调递增。
，故时，，即，
所以，因此对任意，。
解析:本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。
（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，代入切点的横坐标值，即，可求得。
（Ⅱ）由，，这时不能直接判断的正负性，先令，，通过求导判断该函数的单调性，然后可判断得当时，；当时，，从而判断出的正负性，即 的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）由题，，可先将所证等价转化为证明，分析函数，，求导判断其单调性求得，而，则，故得证对任意，。
七、求参数范围

1.（本小题共13分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
（Ⅰ）；（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
2．（）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.
（Ⅰ）当令，则.解得，
列表得
x

＋
0
－
0
＋

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴是极小值点，是极大值点.
（Ⅱ）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a>0，
知在R上恒成立，因此由此并结合a>0，知.
3. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
Ⅰ），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。
考虑函数，则。
（i）设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当时，，可得， ；从而当，且时，，即。
（ii）设。由于当时，，故，而，故当时，，可得，，与题设矛盾。
（iii）设。此时，而，故当时，，可得，而 ，与题设矛盾。综合得，的取值范围为。
解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。
（Ⅰ）先对函数求导，将点代入到导函数，得出斜率，又在直线上，从而得到两个方程，联立解得的值。
（Ⅱ）本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得讨论函数，这里应注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为。
解读
本题（2）中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号，可以提出，这样，余下的部分的求导变得简单可行，且的正负容易判断。
4．本小题满分100分）已知函数。（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的，都有，求的取值范围。
答案详解
（1）。令，得。当时，与的情况如下：

所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是。
当时，与的情况如下：
所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。
（2）当时，因为，所以不会有，。当时，由（1）知在上的最大值是，所以等价于，解得。
解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。
（1）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。
（2）利用函数的单调性，求得的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。 
5. 本小题满分12分）已知函数，，其中，
（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；
（3）若的最小值为，求的取值范围。
答案详解（1）因为，所以，又在处取得极值，所以。
（2）令，
当，即时，在定义域内恒成立，所以函数在内单调递增；
当，即时，在区间内函数递减；在区间内，函数递增。
综上所述，当时，函数在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增。
（3）当时，函数在区间内单调递增，此时，所以满足条件；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，此时，所以不满足题意，所以的取值范围为。
解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。
（1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解；
（2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解；
（3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。
6. 设函数。（1）若为的极值点，求实数；
（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。
注：为自然对数的底数。
答案详解（1）求导得。
因为是的极值点，所以，
解得或，经检验，符合题意，所以或。
（2）①当时，对于任意的实数，恒有成立。
②当时，由题意，首先有，解得，
由（1）知，
令，则，
且
又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，
则，，从而，当时，；
当时，；当时，。
即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。
所以要是对恒成立，只要成立。
由，知
将③代入①得。又，注意到函数在内单调递增，故。
再由③以及函数在内单调递增，可得。
又②解得，。所以。
综上，的取值范围为。
解析本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。
（2）由于当时，，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。
7. 已知，，函数。（1）证明：当时，
（i）函数的最大值为；（ii） ；
（2）若对恒成立，求的取值范围。
答案详解（1）（i）。
当时，有，此时在上单调递增。
当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。所以当时，

（ii）由于，故当时，

当时，

设，则。
所以，。所以当时，。故。
（2）由（i）知，当时，，所以。若，则由（ii）知，。所以对任意恒成立的充要条件是，即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组平行直线，得，所以的取值范围是。

解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。
（1）（i）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。
（ii） 分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可得。
（2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目标函数为，可求得的取值范围为。
8.（本小题满分13分）已知函数=，其中a≠0.(1) 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.(2) 在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，
问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当 .　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知， 令
则
令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，
又 ∴
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.
故当且仅当时， .
综上所述，存在使成立.且的取值范围为
9. (本题满分14分) 已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.
、解：（Ⅰ）函数的定义域为

，得
时，
（Ⅱ）设
则在上恒成立 …………（*）
，
①当时，与（*）矛盾
②当时，符合 ∴实数的最小值为
（Ⅲ）由（2）得：对任意的值恒成立
取：
当时， 得：当时，
得：.
10.（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行 ，即
， ，设，
则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，函数有两个零点，
即；若，，函数有两个零点，
即；当时，方程有一解， ，
函数有一零点
综上，①当时， 函数有一零点；
②当()，或（）时，函数有两个零点；③当时，函数有一零点.