八年级数学下册 17.1 勾股定理（新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级下册数学教案.doc

勾股定理
教学过程:
（一）创设情境，导入新课
教师活动：播放视频故事引出勾股定理的由来，这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲.
学生活动：观看视频，初步感知与勾股定理有关的文化背景知识.
设计意图：为探究勾股定理提供文化背景材料，自然引出本节课的研究内容，激发学生学习热情，同时渗透爱国主义教育.
（二）合作交流，探究新知
教师活动：结合图故事情境片引出问题：早在2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家作客时，发现朋友家的地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图形，看看从中能有什么发现？
（探究①：观察特例，发现新知：）

思考：
（1）请你观察一下图形，你能从中发现什么图形？
（2）正方形A、B与正方形C，它们的面积之间有什么数量关系？
（3）正方形A、B、C所围等腰直角三角形的三边有什么特殊数量关系？
教师活动：展示并引导学生提出问题.
学生活动：学生观察图片，提出问题、分析解决问题.请学生代表发言：讲解通过直接数等腰三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大的正方形C得到结论1：SA+SB=SC.
教师引导学生有正方形的面积等于边长的平方归纳得到结论2：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（探究②深入探究，交流归纳：）
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两条直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形的面积，看看等得出什么结论.

思考2：观察图1，想一想（1）正方形A、B、C的面积各为多少？
（2）正方形A、B、C的面积有什么关系？（3）猜想图1中a、b、c 之间的关系？
思考3：观察图2，想一想（1）正方形A、B、C的面积各为多少？（2）正方形A、B、C的面积有什么关系？（3）猜想图2中a、b、c 之间的关系？
学生活动：独立观察并计算各图形中正方形A、B、C的面积并完成填表
填表
A的面积
B的面积
C的面积
图1

图2

教师活动：参与小组活动，指导、倾听学生的交流.针对不同层次认知水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.引导学生总结结论
归纳：

正方形A、B、C之间的面积关系

直角三角形三边关系

学生活动：学生组内交流，求正方形C面积的方法.并由小组代表讲解展示“割补法”求正方形C面积.
师生交流、讨论逐步完善得到命题1：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
设计意图：鼓励学生大胆发言，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，让学生在轻松的学习氛围中积极参与学习讨论，敢于发表自己的观点，感受合作的重要性，从中获得解决问题的方法经验.
猜想:通过上面的几个例子，我们能猜想到直角三角形三边数量关系有什么特点？
命题1：直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.

以上仅仅是我们的猜想，这个命题如何来进行证明呢？请利用四个全等的直角三角形来围成一个大的正方形拼图，证明勾股定理：
（三）探究③合作拼图，验证定理
我国古代人民早在几千万年以前就已经发现和运用勾股定理，在已有的文献记载中，最早给出证明的是三国时期的吴国数学家赵爽在《周髀算经》注中已经给出了勾股定理的证明。指导学生课前预习利用手中4个全等的直角三角形进行拼图。
拼图验证法①: 拼图验证法②

b
c
a

拼图①分析：大正方形的面积可以表示为
也可以表示为4×+，于是可得：=4×+
证明: S总 = 4s1+s2
=4×+
化简得：a2+b2=c2
因此得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
拼图②分析：
由于拼图后大正方形面积=
又因Ｓ大正方形等于四个直角三角形的面积+正方形C的面积=
所以Ｓ大正方形为： =
=
得到：
因此得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
由于拼图前后面积没有发生变化.
学生活动：学生动手操作，由小组内部互助合作，利用卡片来共同拼图进行验证勾股定理.并由小组代表板演展示拼图结果.
教师活动：引导学生开展拼图验证活动，带领学生共同探究拼图结果，鼓励学生代表做示范演示，展示拼图、验证定理.教师再利用多媒体动画演示.根据图形进行验证，总结方法.
设计意图：让学生体会数学家的思维方式，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
-----组内交流，归纳定理：
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中， 如果∠C=90 °，两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么 c2=a2+b2
关于勾股定理的证明方法有很多，多达几百种，不在逐一列举，为学生提供出入相补法中的一个动画展示及科技展馆的勾股定理模型.
利用几何动画展示：“出入相补法”及“实验科技模型”：

（四）学以致用：
例题：求图中直角三角形的未知边的长度.

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，

教师活动：教师带领学生共同学习例题1，规范解题过程，初步应用勾股定理解决与边长有关的计算，理解应用勾股定理.

变式训练：求图中直角三角形的未知边的长度.

学生活动:学生结合例题学习，进行尝试应用，请两名学生板演示范解题，师生共同点评、批改解题过程.
(五)拓展延伸:
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面4米处折断倒下， 树顶落在离树根3米处.大树在折断之前高多少？

解：设大树折断的部分高为x米，
根据勾股定理得： x2=42+32
解得 x=5
所以大树的高度为4+5=9
答：大树在折断之前高9米.
师生活动:先让学生自主分析问题，请学生发言分析解题的方法与思路，师生共同点评后再总结方法.
设计意图：本题是一题多解，方法不惟一，引导学生从不同的思维角度进行分析，解决问题.

（六）达标小试：
1.已知△ABC的三边分别是a、b、c，若∠C=90 °， 则有关系式（ ）.
A.a2+c2=b2 B.a2+b2=c2 C.a2-b2=c2 D.b2+c2=a2
2.如图1，
人们把它称为_______________________.证数学中的一个十分著名的定理是_________________.字母表达式为______________.. .

3.直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为______________.

4.如图2的阴影部分正方形面积是多少？

师生活动：先让学生进行自我检测，完成达标练习，然后再请学生回答问题，最后师生共同交流答案，分析讲解问题,巩固提升学习能力.
设计意图：以习题考查形式，检测学生对本节课所学知识的应用情况，查缺补漏，让不同层次的学生都有学习收获.
（七）师生小结、共同提升
说说本节课的学习收获：
1.通过本节的学习，你有什么收获？
我知道了……
我感受到了……
2.本节课主要的数学思想方法：
特殊到一般的思想 、数形结合的思想 、方程的思想
(八)作业布置：
1.必做题：课本课后练习1、2题（可任选一题）
2.选做题：做一棵奇妙的勾股树.