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第三节 实验：用单摆测定重力加速度
【要点归纳】
1．实验原理：由T＝2π知g＝.
2．实验器材：带孔小钢球一个，细线一条(约1 m长)、铁架台、毫米刻度尺、秒表、游标卡尺(也可不用)．
3．实验步骤
(1)做单摆
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．

(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋，即为单摆的摆长．
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°角度，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T.
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T.
4．数据处理
(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下表所示实验表格
实验次数
摆长l(m)
周期T(s)
加速度g(m/s2)
g平均值
1

g＝
2

3

(2)图象法：由T＝2π得T2＝l作出T2­l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴．如图所示，其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.

5．注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数．
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变．
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π就不再适用．
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆．
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时．
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．
6．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
【夯实基础练】
1．(2022•安徽省六校第二次联考)(多选)如图所示为同一地点两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法正确的是(　　)

A．甲摆的振幅比乙摆振幅大
B．甲摆的机械能比乙摆的大
C．甲、乙两单摆的摆长相等
D．由图象可以求出当地的重力加速度
E．在t=1.0s时刻乙摆具有最大速度
【解析】 A．甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，故A正确；
B．虽然甲摆的振幅比乙摆大，但由于两单摆的质量未知，所以无法比较机械能的大小，故B错误；
C．由题图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T＝2π，知甲、乙两单摆的摆长l相等，故C正确；
D．由单摆的周期公式，得，由于单摆的摆长不知道，所以不能求得当地的重力加速度，故D错误；
E．在t=1.0s时刻乙摆经过平衡位置，具有最大速度，故E正确。故选ACE。
【答案】 ACE
2．(2022•天津市南开中学高三(下)第4次学情调查)居家防疫期间，小明在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验。他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是：

A.将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点
B.用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长
C.将石块拉开一个大约=5°的角度，然后由静止释放
D.从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由得出周期
E.改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T
F.根据公式，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果
(1)小明用ON的长l为摆长，利用公式求出的宣力加速度的测量值比真实值________(选填“偏大”或“偏小”)。
(2)小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2-l图像如图所示，通过测量计算出图像的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式是g=____________。

【解析】 [1] 由单摆的周期公式得，用ON的长l作为摆长，摆长偏短，则测得的重力加速度偏小；
[2] 设石块质心到N点的距离为R，则实际摆长为，则可得，，可知图像的斜率，可得重力加速度为
【答案】 ①偏小 ②
3．(2022•重庆市第七次质检)一个周期的理想单摆叫秒摆。如果将此单摆的摆长变为，那么单摆的周期变为多少？如果不改变摆长，将这个单摆拿到月球上，已知月球上自由落体的加速度为，那么此单摆在月球上1分钟能做多少次全振动呢？已知地球表面重力加速度。
【解析】 根据单摆周期公式，可得，当时，
在月球上，根据，可得，则
一分钟全振动的次数
【答案】 1s，12次
4．(2022•上海市南洋模范中学高三(下)4月适应练习)在“利用单摆测重力加速度”的实验中．

(1)某同学尝试用DIS测量周期．如图，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方．图中磁传感器的引出端A应接到________．使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于_________．若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为_________(地磁场和磁传感器的影响可忽略)．

(2)多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T．此后，分别取L和T的对数，所得到的lgT-lgL图线为__________(填：“直线”、“对数曲线”或“指数曲线”)；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c由此得到该地重力加速度g=_________．
【解析】 (1)磁传感器的引出端A应接到数据采集器，从而采集数据；只有小球在最低点时，磁感应器中的磁感强度才最大；连续N个磁感应强度最大值应有N-1个时间间隔，这段时间应为(N-1)/2个周期，即：因此T=
(2)根据：，取对数得：因此图象为一条直线；图象与纵坐标交点为C，则整理得：
【答案】 ①数据采集器 ②最低点(或平衡位置) ③ ④直线 ⑤
5．(2022•福建省福州一中高三(下)二模)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度g取，取9.8，不计摆线质量及空气阻力，则该单摆的摆长l为______m，F的最小值为______N。

【解析】 [1][2] 当摆球经过最低点时摆线拉力最大，相邻两次经过最低点的时间间隔为半个周期，由图像可知相邻两次拉力最大值的时间间隔为0.8s，即半个周期为0.8s，则单摆周期为T=1.6s
由周期公式，得
由图可得，摆球运动到最低点时细线的拉力Fmax=1.02N
由牛顿第二定律得
由最高点到最低点的过程，根据机械能守恒定律得
解得
【答案】 ①0.64 ②
6．(2022•北京一零一中学高三(下)入学考试)某同学做“用单摆测重力加速度”实验。
(1)用游标卡尺测量摆球直径d，把摆球用细线悬挂在铁架台上，用米尺测量出悬线长度l。

某次测量摆球直径时游标卡尺示数部分如图所示，则摆球直径为d=_______cm；
(2)在小钢球某次通过平衡位置时开始计时，并将这次通过平衡位置时记为0，数出以后小钢球通过平衡位置的次数为n，用停表记下所用的时间为t。请根据他的计数方法写出单摆周期的表达式：_______；
(3)用上面的测量数据计算重力加速度的表达式为g=_______。
【解析】 (1)[1]由图所示游标卡尺可知，主尺示数为2.2cm，游标尺示数为，则游标卡尺示数为
(2)[2]由题意知，单摆完成全振动的次数为，单摆的周期为
(3)[3]由于单摆摆长为，又单摆周期公式为
可知，重力加速度为
【答案】 ①2.26 ② ③