第22讲-三角函数的概念(原卷版).docx

第22讲 三角函数的概念

1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义；
2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；
4．掌握公式一并会应用

一、三角函数的定义
1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
叫做的正弦函数，记作.即；
叫做的余弦函数，记作.即；
叫做的正切函数，记作.即。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种情况
若已知角终边上一点（不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，
先求，则，，.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
二、三角函数的符号

【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：

其中
注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值

0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°

0

0

1

0
－1

1

0
-
-
-
－1
0

0

1

－1

0

五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值
方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）

考点一：由终边或终边上的点求三角函数
例1．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．

【变式训练】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．

考点二：由三角函数值求终边上点的参数
例2．角的终边经过点且，则b的值为（ ）
A．3 B． C． D．5

【变式训练】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（ ）
A． B． C． D．

考点三：三角函数的符号判断
例3．已知且，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式训练】确定下列各式的符号（1）)； （2）.

考点四：圆上的动点与旋转点
例4．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．

【变式训练】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．

考点五：诱导公式一的应用
例5．（ ）
A． B． C． D．

【变式训练】计算的值是（ ）
A． B． C． D．

1．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知第二象限角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
5．的值为（ ）
A．负数 B．正数 C．0 D．不存在
6．已知角A，B是三角形的两个内角，则点（ ）
A．不可能在第一象限 B．不可能在第二象限
C．不可能在第三象限 D．不可能在第四象限
7．（ ）
A． B． C． D．
8．点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B．（） C．（，） D．（－，）

1．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知角的终边与直线重合且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
5．已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第一象限
6．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若角的终边经过点，其中，那么________．
8．已知点是角的终边上的一点，且，则__________．
9．计算______.
10．已知角，则的值为______．