第02讲-单调性问题(练习)(解析版).docx

第02讲 单调性问题
（模拟精练+真题演练）

1．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（    ）
A．函数为奇函数 B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】B
【解析】依题意，则，设
单调递减,
单调递增,

知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.
故选：B．
2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
由，即，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：D
3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上
所以的最小值为1，所以.
故选：B.
4．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】时，即，
∴在上单调递减，又为偶函数，
∴在上单调递增．
∴，
∴.
故选：A．
5．（2023·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，，
令，则，
因为当时，单调递增，
所以，即，
令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为且，
所以，
故选：A
6．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，，即，也即，
由可得，所以，
即，
构造函数，在恒成立，
所以函数在定义域上单调递减，
所以，即，
又因为，所以，所以，解得，
故选:B.
7．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设， ，
对，且，恒有，即，
在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即，即.
故选：A
8．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，在定义域上单调递增，
又使（为常数）成立，
显然，所以不妨设，则，
即，
令，，则，即函数在上存在单调递增区间，
又，则在上有解，
则在上有解，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，即常数的取值范围为.
故选：C
9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A, ,故为奇函数， ，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，
对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，
对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，
对于D，，，所以 定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，
故选：AD
10．（多选题）（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，则（    ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC

【解析】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，所以，A正确；
由得，即，又因为单调递增，所以，B正确；
由得，即 ，所以，C错误；
因为，所以，D正确．
故选：ABD.
12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）当且时，不等式恒成立，则自然数可能为（    ）
A．0 B．2 C．8 D．12
【答案】BC
【解析】由于且，所以，所以，
构造函数，
当，且时，
故当 当，因此 在单调递减，在 单调递增，故当 时，取最小值 ，
当时， 单调递增，当时， 单调递减，故当时， 取最大值，
当时，不妨取 ，则而，不满足，故A错误，
当时，，，显然，故满足题意，B正确，
要使恒成立，则需要，即恒成立即可
由于，因此
当 时，， C正确，
当 时，，不满足题意，错误，
故选：BC
13．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】由题得的定义域为，
由可得，
令，，得，所以的单调递减区间为.
故答案为：
14．（2023·四川雅安·统考模拟预测）给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，知，函数可以为指数函数，
因当时，，则函数在上单调递减
所以函数可以为.
故答案为：
15．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______________．
【答案】
【解析】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.
故答案为：
16．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】由可知，其定义域为，
则，
易知当时，；当时，；
即函数在单调递减，在上单调递增；
若函数在区间上不单调，则需满足，
解得
所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数.
若函数为增函数，求的取值范围；
【解析】∵，则，
若是增函数，则，且，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递增，在递减，
故，∴的取值范围为.
18．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数
若单调递增，求a的值；
【解析】由可得，，
由于函数单调递增，则恒成立，
设，则，
当时，，可知时，，不满足题意；
当时，，函数单调递增，
又因为，即，不满足题意；
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由可得，，令，则，
可知时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则，由于恒成立，
所以，当且仅当时取等号，
故函数单调递增时，实数的值为.
19．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数，，．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)讨论的单调性并写出过程．
【解析】（1）由题意得，令，的定义域为，
由得：．
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为．
（2）令，的定义域为．

①当时，时，，在上是增函数；
时，，在上是减函数；
时，，在上是增函数；

②当时，，
时，在上是减函数；
时，在上是增函数；
③当时，单调递增；
④当时，时，，在上是增函数，
时，，在上是减函数，
时，，是增函数．
20．（2023·河南·模拟预测）已知函数，．
求的单调区间；
【解析】由已知可得，定义域为，.
令，则.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增．
所以，的单调递增区间为，无递减区间．
21．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）已知函数，其中是自然对数的底数.
当时，讨论函数的单调性；
【解析】当时，，则，
当时，令解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以在上单调递减，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
22．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在上不单调，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，函数，定义域为，
易知，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，
则，令，，
则．
①当时，，则在上单调递增，
所以当时，，所以在上单调递增，不符合题意．
②当时，，则在上单调递减，
所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意．
③当时，由，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
易知，当且仅当x＝1时取等号，则当时，，即．
所以当x＞0时，．
取，则，且．
又，所以存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，故函数在区间上不单调，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．

1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【解析】当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
【解析】（1）因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）因为，    
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
求的单调区间；
【解析】，
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
讨论的单调性；
【解析】由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：

增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
6．2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数
求函数的单调区间；
【解析】，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
7．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.
讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
8．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
当时，求的单调区间；
【解析】当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
9．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
讨论的单调性；
【解析】的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，