高等数学-极限.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,1.2 极限,一、数列的极限,二、数列极限的性质,三、函数的极限,四、无穷大与无穷小,一、数列的极限,例如,1.定义1,形如 的一列数称为,数列,，,数列中的每一个数叫做数列的项，,第,n,项,a,n,叫做,数列的一般项或通项.,说明：,(2)几何上，数列看做数轴上一个动点，依次取数轴上的点,(1)数列是以自然数为定义域的函数,问题的提出,割圆术,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法,割圆术,，就是极限思想在几何上的应用.,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.,2.数列极限的定义,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,说明：,当,n,的取值无限增大时，面积,A,n,无限接近一个确定的常数,S,.,数列的极限,用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:,圆的面积,再如数列,定义2,设,a,n,是一数列，,a,是一常数.,反之，如果数列,a,n,的极限不存在，则称数列,a,n,发散,.,在上例中，,问题：,例如，,由于,当,n,越来越大时，越来越小，从而,a,n,越来越接近于,0,.,例如，给定,只要,n,100即可,.,即从,101,项开始都能使,给定,只要,n,10000即可,.,即从,10001,项开始都能使,一般地，不论给定的正数 多么的小，,总存在一个正整,数,N,使得当,n,N,时，不等式,都成立,.,这就是数列,根据这一特点得到数列极限的精确定义,.,定义,3,总存在正整数,N,，,使得当,nN,时，不等式,都成立,那么称常数,a,是数列,a,n,的极限.,记作,说明：,具有任意性，确定性，,N,存在性与 有关;,(3),数列的极限与前面的有限项无关,.,(4),定义简写,几何解释：,从,N+,1,项开始，有,例,1,证明,由极限的定义知,例2,证明,由极限的定义知例3,证明,由极限的定义知,说明：,因,从而,同理,因,故存在,N,1,使当,n,N,1,时,证明,(反证法),假设,故存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,从而,定理1(极限的唯一性),收敛的数列极限唯一,.,二、数列极限的性质,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,.,则当,n,N,时,同时满足的不等式,定理2(收敛数列一定有界),证明,设,取,从而有,则,当,时,有,收敛数列必有界.,取,则有,由此证明收敛数列必有界,.,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,定理3(收敛数列的保号性),证明,就,a,0,的情形,由数列极限的定义，,推论,:,若数列从某项起,(,用反证法证明,),若,则,定理4(夹逼准则),证,明,由条件,(2),当,时,当,时,令,结合条件,(1)，得,即,故,则当,时,从而,例4 证明,证明,由,夹逼准则,得,定理5(单调有界准则),单调增加,数列,：,单调,减少数列：,单调有界,数列必有极限.,单调,增加,有上界,数列必有极限,；,单调,减少,有下界,数列必有极限,.,单调递增数列和单调递减数列统称为,单调数列.,说明：,例,5,证明数列的有界性,.,解,则,由归纳法知，对所有的,下面证明数列具有单调性,.,则,由归纳法知，对所有的,由单调有界准则知，,设为,a.,由于收敛数列保号性知,故所求数列的极限是,子数列：,在数列,a,n,中任意抽取无限多项并保持这些项在,原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数,列,a,n,的子数列,例如，,数列,a,n,：,1，-1，1，-1，,，(-1),n,+1,，,的一子数列为,a,2,n,：-1，-1，-1，(-1),2,n,-,1,，,另一子列,a,2,n-,1,：,1，1，1，(-1),2,n,，,如果数列,a,n,收敛于,a,，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是,a,定理6(收敛数列与其子数列间的关系),(1)若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列,发散,.,说明,:,定理6用来证明数列发散：,(2)若数列有一个子列极限不存在，则则原数列发散,.,例如,，,发散,!,不相等,自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,自变量趋于无穷大时函数的极限,三、函数的极限,函数的极限,单击任意点开始观察,1.自变量,x,时,函数的极限,引例,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,观察完毕,演示实验的观察,:,当,x,无限增大,时,函数值,f,(,x,),无限接近于一个确定的常数,A,称,A,为,f,(,x,),当,x,+,时的极限,.,设,f,(,x,),当,x,大于某一正数,时有定义，,函数,f,(,x,),在,x,+,时极限的直观定义：,定义4,引例中，,表明函数,f,(,x,)无限接近,A,.,x,X：,表明,是在,x,+,的过程中实现的.,定义5,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,)-,A,|X,时，,类比于数列极限的定义，推得当 时函数极限的,精确定义：,对定义,5,的简单叙述：,类比当 时函数的极限定义，当 时函数,f,(,x,),的极限定义：,定义6,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,)-,A,|,成立，则称,A,是函数,f,(,x,)在,时的,极限,.,对,任意给定的正数,，,总存在,正数,X,，当,x-X,时，,简单叙述：,结合定义,5,和定义,6,，推得,定义7,f,(,x,),当,x,大于某一正数时有定义,A,为常数,.,恒有,|,f,(,x,)-,A,|X,时，,简单叙述：,结论：,例,6,证明,由于,由极限的定义知,几何解释：,称直线,y,=,A,为曲线,的,水平渐近线,几何上，曲线,y=f,(,x,),的图形位于 和,两直线之间.,引例,函数,在,处的极限为,函数,在,处的极限为,y,A,x,xx,0,时函数,f,(,x,),的极限是否存在,与,f,(,x,),在,x,0,处是否有定义,无关,.,2.自变量,x,x,0,时,f,(,x,),的极限,结论,：,设,f,(,x,),在点,x,0,的某一,去心邻域内,有定义，,记作：,上例中,定义,7,定义8,简单表述：,设,f,(,x,),在点,x,0,的某一去心邻域内有定义,，,存在,正数,d,当,0,|,x-x,0,|,d,成立，则称,A,为函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限,.,对于,任意给定的正数,e,|,f,(,x,),-,A,|0,不等式,的,x,总有,使对一切满足,总存在,则称函数,当,时为,无穷大,说明：,1.,无穷大不是数,不可与很大的数混为一谈,.,2.,函数为无穷大,必定无界,.,但反之不真,!,例如,函数,因为,无界,例如，,由于,从图形上看，,一般地，,的,铅直渐近线,.,在上例中，,3.无穷小的性质,性质1(无穷小与函数极限的关系),其中,为,时的无穷小量,.,证明,当,时,有,则,为,时的无穷小量,.,若,为无穷大,且,则,为无穷大,.,为无穷小,;,则,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论,.,性质,2,在自变量的同一变化过程中,说明,:,若,为无穷小,例如,性质,3,有限个无穷小的和是无穷小,.,性质,4,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,例,10,求极限,解,由于,是有界函数,推论,1,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论2,有限个无穷小的乘积是无穷小.,内容小结,1.,数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,任一子数列收敛于同一极限,3.,函数极限的,或,定义及应用,4.,函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,5.无穷小的性质,