高等数学04教学下载样章.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,13,1,误差与方程求根,能力目标,1,了解绝对误差、相对误差、有效数字等相关概念,.,2,会用二分法、牛顿迭代法求方程的近似根,.,讨论方程在,1,，,2,内的根,.,这是一个关于的,5,次代数方程，没有求解公式，即,方程没有精确解,.,但根据闭区间上连续函数的零点定,理，可以确定这个方程在（,1,，,2,）内至少有一个实根，,如何找到满足精度要求的近似解，正是要讨论的问题,.,一、误差,模型误差：在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽,象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，,对问题作一些简化,因此数学模型和实际问题有一定的,误差，这种误差称为模型误差,测量误差：在建模和具体运算过程中所用的数据往往是,通过观察和测量得到的，由于精度的限制，这些数据,一般是近似的，即有误差，这种误差称为测量误差,截断误差：由于实际运算只能完成有限项或有限步运,算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有,限化，对无穷过程进行截断，这样产生的误差称为截,断误差,舍入误差：在数值计算过程中，由于计算工具的限制，,我们往往对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作,为该数的近似值，这种由舍入产生的误差称为舍入误差,1,、绝对误差与相对误差,绝对误差：准确值与其近似值之差称为近似数,的绝对误差（简称误差），记为,简记为,e*,但一般来说，不能准确知道,e(,),的大小，可以通过测量或计算估计其绝对值的上,界那么叫做近似数的绝对误差限，简称误差限。,简记为,例如，若取为的近似值，则,于是可作为的绝对误差限。有了绝对误,差限就可以知道准确值的范围：,绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度，例如,看上去的绝对误差限比的绝对误差限小，似乎,的精度高，其实不然,.,相对误差 称为近似数的相对误差，,简记为。如果 ，则称,为近似数的相对误差限，简记为。相对误差一般,用百分数来表示。,的近似值的相对误差限为,的近似值的相对误差限为,有效数字 若近似值的绝对误差限不超过其末位数,的半个单位，而该位数字到的第一位非零数字共有,n,位，则称用近似时具有,n,位有效数字,例,13.1.1,若取为的近似值，,，具有,3,位有效数字；,若取为的近似值，,，就有,5,位有效数字,例,13.1.2,设分别是由准确值,x,和,y,经过四舍五入得到的近似值，问,分别是多少？,解,由于在数值运算中，不可避免地会产生误差，如果知,道产生误差的某些规律，就可在一定程度上控制误差,一般地，要遵循如下一些原则：,1,）要避免相近两数相减，防止有效数字丢失；,2,）要防止大数吃掉小数；,3,）绝对值相对太小的数不宜作除数；,4,）要尽量简化运算步骤，减少运算次数；,5,）要选取数值稳定的算法,.,二、方程求根,很多实际问题需要解决高次代数方程或超越方程,的根,.,方程的根也叫做函数的零点,.,上连续，且，则在（,a,，,b,）内至少有,一个实根,.,1.,方程求根的二分法,（,a,，,b,）内有唯一的单实根，下面给出求单实根,假设为闭区间,a,，,b,上的连续函数，且在开区间,由连续函数的特性我们知道：若在闭区间,a,，,b,的近似值的方法。,取区间,a,，,b,的中点，考察区间及,中哪一个为有根区间，即检查与是否,这时令；否则在区间中，这时,令，即不管出现哪种情形，新的有根区,间的长度仅为原有根区间的一半。,同号，如果确系同号，说明所求根在区间中，,对于新的有根区间又可施行同样的作法，即中,点将区间再分为两半，然后判定所求,的根在的哪一侧？从而确定出新的有根区间,其长度为的一半。,如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间,，,，,其中每一个区间都是前一个区间的一半因此，二分,k,次后的有根区间的长度为,由此可见如果二分过程无限地继续下去，这些有根区,间必收缩于点，该点就是所求的根,.,若取有根区间的中点作为根的近似值，,则绝对误差限为,上述求根的方法称为方程求根的二分法，简称为二分法,.,例,13.1.3,求在区间,2,，,3,之间的根。,解 ，所以（,2,，,3,）是有根区间,具体计算过程如下：,即为所求方程的近似解，其误差限为,二分法的优点是算法简单及近似根序列一定收敛，其,缺点是它只能用于求实根2,牛顿迭代法,设有非线性方程，用如下,方法求实根的近似值,（,1,）从点作曲线的切线，它的方程为,令，便得到切线与轴交点的横坐标,作为的第一次近似值，则,（,2,）以曲线在点的切线与轴交,点的横坐标作为的第二次近似值,依次类推，直至满足精度要求为止由此,可得的第次近似值,定理,13-1,给定方程,=0,，是,a,，,b,上的连续,函数,（,1,）设,（,2,）在,a,，,b,上不变号，且在,a,，,b,上,（,3,）取，满足,则由公式（,13-1,）得到的序列收敛于,在,a,，,b,内的唯一,实,根,由公式（,13-1,）求,=0,的近似根的方法称为牛顿,迭代法，也称为切线法,例,13.14,用牛顿法求方程的近似解，使其,误差小于,0,01,解 设,所以取,=3,，由迭代公式,所以方程的根在（,2,50,，,2,506,）内，如取,2,506,作为根的近似值，其误差,2,506-2,50=0,006,0.01.,13.2,插值方法简介,能力目标,会用节点处的函数值构造拉格朗日线性插值和二,次插值函数,2,会用曲线拟合的最小二乘法作直线拟合和抛物线,拟合,据有关资料统计，,1998,年,2006,年我国进出口总额统,计如下,试预测,2007,年的进出口总额,实践中常碰到与上述案例类似的问题：由实验得到某,一函数在一系列点处的值,，但函数的解析达式是未知的，需要构造,一个简单的函数作为的近似表达式，,使得在这些节点上与重合,由于多项式函数比较简单，又有许多好的性质：可积、,连续、高阶可导，因此我们主要研究用多项式,来逼近函数，使其满足条件,这类问题称为插值问题，点称为插值节点，称为,插值节点处的函数值，称为插值函数（插值多项,式），称为被插函数,一、拉格朗日插值多项式,1,线性插值,给出函数表,如何构造一个插值函数，使满足式,（,13-2,）的要求？最简单的方法就是过两点作一条,直线，得,上式是两个线性函数和的线性组合，,分别记为,次插值基函数，这两个插值基函数满足如下性质：,并称为点的一次插值基函数，为点的一,（,1,）在对应的插值点上取值,1,，而在另外的插值点上取值,0,（如下表）,（,2,）插值函数是这两个插值基函,数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值，,这种形式的插值称为拉格朗日插值,2,二次插值,函数下面用三个点，来构,造的拉格朗日二次插值函数,对于拉格朗日型插值，主要是在节点上构造出二次插,线性插值是用两个点和来构造的插值,值基函数，它们都是不超过二次的多项式，,且在对应的插值节点上取,1,，其余的插值节点上取零,（如下表）,先构造过点的二次插值基函数由于有,和两个零点，因此含有因子,又因是一个次数不超过二次的多项式，故可写成,由，可求得,从而得到的二次插值基函数,同样的方法，可以构造点和的二次插值基函数，,于是得到拉格朗日二次插值多项式为,3,n,次插值,对于拉格朗日型的次插值多项式，先构造个插,值节点上的次插值基函数它们的数值,见下表,对任意点所对应的插值基函数，由于在所有,取零值，因此含有因子,又因是一个次数不超过,n,次的多项式，故可写成,由，可求得,从而得到,n+1,个,n,次插值基函数,于是得到次拉格朗日插值多项式为,插值多项式的唯一性由如下定理,定理,13-1,满足,的插值多项式是存在唯一的,例,13,2,1,取节点和,对函数分别建立线性插值和二次插值,多项式,解,(1),因为,构造点，的一次插值基函数,(2),因为,构造点，和的二次插值基函数,一般地，二次插值要比一次插值来得精确些但要注,意，并不是插值多项式的次数愈高愈精确，反而随着,插值多项次数的增高，计算量的增大，舍入误差的影,响就会增大因此，实际计算中常用的是分段线性插,值或分段抛物插值,例,13,2,2,当时，求,的二次插值多项式。,解 将值,(1,0),(-1,-3),(2,4),代入二次插值公式,得,曲线拟合的最小二乘法就是要从一大堆看上去杂乱无,章的数据中找出其规律即设法构造一条曲线（称为,拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，并根据使残差,的平方和为最小的原则求出这条拟合曲线所谓残差,二、曲线拟合的最小二乘法,是指实测值与按拟合曲线求得的近似值之差,1,直线拟合,若所给的数据点的分布大致成一,直线，这时可设拟合曲线的一般形式为,根据残差的平方和为最小的原则，即要求使总误差,达到最小由微积分求极值的方法知，使达到极,值的参数应满足,例,13,2,3,经实验测得某物理量的,5,对数据如,下，用最小二乘法求其拟合曲线,解 首先在坐标纸上描出散点图，发现其近似地在一,直线上为此，设拟合曲线为,将数据点代入方程组得,所以为所求的拟合曲线。,2,抛物线拟合,若给定的数据点的分布大致为抛物线，则寻求作拟合,曲线,使总误差达到最小,与上面完全类似地讨论可得，使达到极值的参数,应满足,例,13,2,4,某生产记录数据如下，用最小二乘法求,其拟合曲线,解 首先在坐标纸上描出散点图，发现其分布可以用,一条抛物线来近似为此，设拟合曲线为,将数据点代入方程组得,于是得拟合曲线为,