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第二讲 人造卫星与宇宙航行
Ø 知识梳理
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
G＝
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.

④运行速率均为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
②第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
③第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
④第一宇宙速度的计算方法
由G＝m得v＝；
由mg＝m得v＝．
(2)第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s．
(3)第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s．
考点一、卫星运行参量的分析
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
3．地球同步卫星的特点

4．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

例1、如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　)

A．角速度的大小关系为ωa＝ωb>ωc
B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac
C．线速度的大小关系为vb>vc>va
D．周期关系为Ta＝Tb>Tc
【答案】C
【解析】卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，则ωa＝ωc；对于b和c，由万有引力提供向心力，得：ω＝ ，因为rbωc＝ωa，故A错误。因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得：aaac，即ab>ac>aa，故B错误。因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知vavc，即vb>vc>va，故C正确。对b和c，由万有引力提供向心力，得：T＝2π，因为rbTb，即Ta＝Tc>Tb，故D错误。
例2、(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
【答案】CD
【解析】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma。因为在不同半径的轨道处g值不同，故不能由v＝得出甲、乙的速度关系，卫星的线速度v＝，可得＝＝，故A错误；因为在不同半径的轨道上卫星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出两卫星的加速度关系，卫星的加速度a＝，可得＝＝，故B错误；卫星所受的向心力F＝G，两颗人造卫星质量相等，可得＝＝，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律＝k，可得＝＝2，故D正确。
例3、(多选)(2022·莆田4月模拟)2020年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式建成开通，我国向世界庄严宣告，中国自主建设和运营的全球卫星导航系统全面建成，成为国际上第一个将多功能融为一体的全球卫星导航系统。北斗卫星导航系统中三个卫星的圆轨道示意图如图，其中A为地球赤道同步轨道；轨道B为倾斜同步轨道，轨道半径与地球赤道同步轨道半径相同；轨道C为一中地球轨道。则下列说法中正确的是(　　)

A．在轨道A、B、C上运动的卫星的线速度大小关系为vA＝vBrC，所以有vA＝vBrC，所以在轨道A、C上运动的卫星周期关系为TA>TC，故C错误；根据开普勒第三定律，在轨道A、B、C上运动的卫星周期的平方和轨道半径三次方的比值相等，故D正确。
例4、中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是(　　)
A．“龙江二号”的质量
B．“龙江二号”的线速度大小
C．月球的质量
D．月球表面的重力加速度大小
【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力可知G＝m()2(R＋h)，“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，C正确；根据T＝可求出其运动的线速度，故B正确；根据G＝m0g且m月也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确。
l 课堂随练
训练1、(2021·高考河北卷，T4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为(　　)
A．　 　　 B．　 　　
C．　 　　 D．
【答案】D
【解析】物体绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得＝mR，则T＝ ，R＝，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1，则飞船的轨道半径
R飞＝ ＝ ＝R同，则＝ ．
训练2、(2022·广东省选考模拟)如图，某中心天体的卫星a在较低轨道1上运行，该中心天体的同步卫星b在轨道2上运行。某时刻a、b在同一直线上，已知a绕中心天体运行一个周期的时间，b第一次到达虚线所示位置。若b的轨道半径为r，则a的轨道半径为(　　)

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设卫星a、b的运行周期分别为Ta、Tb，则由题意可知＝，根据牛顿第二定律可得G＝mR，解得T＝2πR∝R，设a的轨道半径为r′，则可得＝即r′＝r．
训练3、(2022·泰安二轮检测)2021年2月24日10时22分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将遥感三十一号03组卫星发射升空，卫星进入预定圆形轨道。该卫星绕地球运行示意图如图所示，测得卫星在t时间内沿逆时针从P点运动到Q点，这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，则这颗卫星离地球表面的高度为(　　)

A． B．
C．－R D．－R
【答案】C
【解析】该卫星的角速度为ω＝，在地球表面有mg＝G，对于卫星，有G＝mω2(R＋h)，联立解得h＝ －R，故C正确。
考点二　宇宙速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】A
【解析】火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正确，B错误；万有引力提供向心力，则有＝，解得地球的第一宇宙速度为v1＝，所以火星的第一宇宙速度为v火＝v地＝v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有＝mg火，解得火星表面的重力加速度，g火＝＝g地＝g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
例2、(多选)(2021·湖南衡阳市联考)2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期T，已知万有引力常量G和月球半径R。则下列说法正确的是(　　)
A．“嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度为
【答案】AC
【解析】“嫦娥五号”绕月球飞行的轨道半径为(R＋h)，所以飞行的线速度为v＝，故A正确；“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的质量为m月＝，故B错误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝，故C正确；在月球表面，重力等于万有引力mg＝G，月球表面的重力加速度为g月＝，故D错误。
l 课堂随练
训练1、2019年4月10日，事件视界望远镜(EHT)项目团队发布了人类历史上的首张黑洞照片，我国科学家也参与其中做出了巨大贡献。经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】根据万有引力提供向心力有G＝m，得第一宇宙速度v＝ ，则第二宇宙速度v2＝v＝＝ ≥c，所以ρR2≥，B正确，A、C、D错误。
训练2、地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是(　　)
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
【答案】C
【解析】根据第一宇宙速度v＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v2＝v1＝×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确．
考点三、卫星变轨问题
1．变轨原理（从低轨道到高轨道）
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ．
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ．
v 从高轨道到低轨道变轨，上述过程加速变减速．
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在ⅠⅡ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1射到达环月轨道的行程示意图如图，下列说法正确的是(　　)

A．在地月转移轨道上无动力奔月时，动能不断减小
B．接近环月轨道时，需要减速才能进入环月轨道
C．“嫦娥五号”在地月转移轨道上运动的最大速度小于11.2 km/s
D．“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中地球引力越来越小，处于失重状态
【答案】BC
【解析】在地月转移轨道上无动力奔月时，受月球的引力作用，则动能不断增大，A错误；接近环月轨道时，需要减速制动，才能被月球俘获，进入环月轨道，B正确；“嫦娥五号”在地月转移轨道上没有脱离地球的引力，则运动的最大速度小于11.2 km/s，C正确；“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中，加速度向上，则处于超重状态，D错误。
例2、(多选)(2022·岳阳质检)“天问一号”火星探测器于2020年7月23日，在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空。如图所示，设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g0，“天问一号”在半径为R的近地圆形轨道 Ⅰ 上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道 Ⅱ，到达轨道 Ⅱ 的远地点B时，再次点火进入轨道半径为4R的圆形轨道 Ⅲ，绕地球做圆周运动，设“天问一号”质量保持不变。则(　　)

A．“天问一号”在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为1∶8
B．“天问一号”在轨道Ⅲ上的运行速率大于
C．“天问一号”在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅲ上的加速度
D．“天问一号”在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能
【答案】AD
【解析】由开普勒第三定律得＝，解得＝，故A正确；“天问一号”在轨道Ⅲ上运行时，由万有引力提供向心力得G＝m，又GM＝g0R2，联立解得v＝，故B错误；根据公式＝ma可知，半径越大加速度越小，则“天问一号”在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，故C错误；探测器在A、B点进入高轨道时，都进行了点火加速，机械能增加，则“天问一号”在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故D正确。
l 课堂随练
训练1、(2022·湖北八市3月联考)2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。关于探测器，下列说法正确的是(　　)

A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
【答案】A
【解析】由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，由高轨道进入低轨道需要点火减速，A正确；根据周期公式T＝2π可知，轨道半径越大周期越大，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误。
训练2、嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后于2020年12月17日成功返回，最终收获1731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是(　　)

A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上时的加速度大小
C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
【答案】C
【解析】轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相等，故B错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回，故C正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误．
训练3、(2022·河北“五个一名校联盟”二模)如图所示为嫦娥五号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点。已知圆轨道Ⅳ到月球表面的高度为h，月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转，下列关于嫦娥五号的说法正确的是(　　)

A．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需在P点减速，由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q点加速
B．在Ⅱ轨道上稳定运行时经过P点的加速度大于经过Q点的加速度
C．在Ⅲ轨道上稳定运行时经过Q点的加速度等于在Ⅳ轨道上经过Q点的加速度
D．在Ⅲ轨道上绕月运行经过Q点的速度大小为
【答案】C
【解析】由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道做近心运动，需在P点减速，同理由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q点减速，故A错误；在Ⅱ轨道上稳定运行时，P点为远月点，Q点为近月点，所以经过P点的加速度小于经过Q点的加速度，故B错误；由＝ma可知在Ⅲ轨道上稳定运行时经过Q点的加速度等于在Ⅳ轨道上经过Q点的加速度，故C正确；在Ⅳ轨道上绕月运行经过Q点的速度大小为，由Ⅲ轨道在Q点进入Ⅳ轨道，做近心运动，需要减速，故D错误。
考点四、天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：

1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
－＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝(n＝1、2、3…)

同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…)
例1、当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是(　　)
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】B
【解析】设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球
公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确．
例2、(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　)

A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时：Tb－Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时：Tb－Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m＝0,1,2，…6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错，D对．
l 课堂随练
训练1、如图所示，AB为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0．某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　)

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，－＝nB－nA＝，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，解得t＝．故选C．
训练2、(多选)如图,三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2),在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4，则下列说法中正确的是(　 　)

A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】根据开普勒第三定律，周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设图示位置夹角为θ(θ<)，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t=Tb，则a、b相距最远时，有，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时，有，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D正确，C错误。
考点五、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．

(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
例1、(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
例2、(2022·东北三省三校4月第二次联考)太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m，正三角形边长为L，引力常量为G。则下列说法中正确的是(　　)

A．位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关
B．该四星系统做圆周运动的半径为L
C．每个处于顶点处的星体所受向心力大小为
D．该四星系统的运动周期为2πL
【答案】D
【解析】该四星系统做圆周运动的半径为r＝＝L，B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小为F＝＋2·cos 30°＝，C错误；根据牛顿第二定律＝mω2r，解得ω＝，位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误；根据牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2πL，D正确。
例3、由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，其中有一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于一等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在等边三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，如图所示。已知A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，AD为BC边的中垂线，下列说法正确的是(　　)

A．圆心O在中垂线AD的中点处
B．A星体的轨道半径最大
C．A星体的线速度最大
D．A星体的加速度最大
【答案】A
【解析】设等边三角形的边长为a，由万有引力公式可知，A星体受到B、C两星体的引力的大小分别为：FBA＝FCA＝G＝，方向如图，A受到的合力的大小为：FA＝2FBAcos30°＝；B星体受到A、C两星体的引力大小分别为：FAB＝，FCB＝，方向如图，建立平面直角坐标系，将FAB、FCB沿x轴和y轴分解，沿x轴方向：FBx＝FAB·cos60°＋FCB＝，沿y轴方向：FBy＝FABsin60°＝，则B受到的合力大小为：FB＝＝；B、C的受力情况相似，则C受到的合力大小为：FC＝。三个星体绕共同的圆心做匀速圆周运动，合力提供向心力，则任意两星体所受合力的交点即三个星体做圆周运动的圆心，由于B、C的质量相等，则B、C对A的万有引力的合力方向与BC的中垂线AD方向相同；通过对B的受力分析可知，由于FAB＝，FCB＝，B所受合力的方向经过BC的中垂线AD的中点O，则圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处，故A正确。由几何知识可知：AD＝asin60°＝a，圆心O是AD的中点，则A的轨道半径rA＝AD＝a，根据几何关系，B、C的轨道半径rB＝rC＝＝a，B、C的轨道半径大于A的轨道半径，故B错误。由于三星体的角速度ω相等，且rB＝rC>rA，根据v＝ωr，可知vB＝vC>vA，故C错误。根据a＝ω2r，可知aB＝aC>aA，故D错误。

l 课堂随练
训练1、(2022·南京秦淮中学检测)如图，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知两颗恒星A、B间距为d，引力常量为G，则可推算出双星的总质量为(　　)

A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】设A、B两天体的轨道半径分别为r1、r2，两者做圆周运动的周期相同，设为T′，由于经过时间T两者在此连成一条直线，故T′＝2T，对两天体，由万有引力提供向心力可得G＝mAr1，G＝mBr2，其中d＝r1＋r2，联立解得mA＋mB＝，故B正确。
训练2、(2022·梧州3月联考)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示。若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则(　　)

A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶3
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
【答案】D
【解析】星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A错误；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr，则线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为＝＝＝，故D正确。
训练3、(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是(　　)

A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】BD
【解析】四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B正确；由(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
Ø 同步训练
1、(多选)地球的某卫星的工作轨道为圆轨道，轨道高度为h，运行周期为T。若还知道引力常量G和地球半径R，仅利用以上条件能求出的是(　　)
A．地球表面的重力加速度
B．地球对该卫星的吸引力
C．该卫星绕地球运行的速度
D．该卫星绕地球运行的加速度
【答案】ACD
【解析】该卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m(R＋h)，得M＝，故根据已知量可以求得地球的质量M，再根据物体在地球表面时的重力与万有引力相等，有G＝mg，在已知地球质量和半径及引力常量的情况下可以求得地球表面的重力加速度故A正确；由于不知道该卫星的质量，故无法求出地球对该卫星的吸引力，故B错误；已知该卫星的轨道半径和周期，根据v＝知，可以求出卫星绕地球运行的速度，故C正确；该卫星绕地球运动的加速度也就是卫星的向心加速度，根据a＝r，已知该卫星的轨道半径和周期可以求出其加速度，故D正确。
2、(多选)2019年9月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭以“一箭双星”方式成功发射第47、48颗北斗导航卫星，两颗卫星均属于“中圆地球轨道”卫星。“中圆地球轨道”卫星是指卫星轨道距离地面高为2×103 km至2×104 km并且绕地球做匀速圆周运动的地球卫星。若第47颗北斗导航卫星轨道距地面的高度约为192×104 km，已知地球半径为6400 km，地球表面重力加速度取9.8 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．该卫星的发射速度应大于7.9 km/s而小于11.2 km/s
B．该卫星每天环绕地球大约运行三圈
C．该卫星环绕地球做匀速圆周运动的线速度约为4 km/s
D．该卫星环绕地球做匀速圆周运动的向心加速度约为2.45 m/s2
【答案】AC
【解析】7.9 km/s即第一宇宙速度，是卫星的最小发射速度，11.2 km/s即第二宇宙速度，发射速度超过此速度的卫星将脱离地球的引力，第47颗北斗导航卫星属于地球卫星，其发射速度应大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，故A正确；设该卫星环绕地球做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，由万有引力定律得：＝mg，＝＝m2(R＋H)＝ma，联立解得：v≈4 km/s，T≈11 h，a＝0.6125 m/s2，故C正确，D错误；该卫星每天绕地球运行的圈数大约为n＝≈2，故B错误。
3、(多选)2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100 km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是(　　)

A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度
D．“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度
【答案】CD
【解析】根据牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝，则“嫦娥四号”探测器沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴比轨道Ⅰ的轨道半径小，根据开普勒第三定律，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动的周期比在轨道Ⅰ上的小，故B错误；月球