艺体生高考数学冲刺-第26讲-空间几何体表面积-体积学生.docx

第26讲 空间几何体表面积和体积
[玩前必备]
1. 空间几何体的结构特征
多面体
棱柱
棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形
棱锥
棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形
旋转体

圆柱
圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到
圆锥

圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到
圆台
圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到
球
球可以由半圆或圆绕直径旋转得到

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图

侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底·h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

[玩转典例]
题型一 简单几何体的概念
例1　以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
例2　给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为________．(填序号)
[玩转跟踪]
1.给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
题型二 简单几何体的表面积
例3　(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
例4　棱长为a的正四面体的表面积是(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
[玩转跟踪]
1. 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
2.用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　)
A．32 B. C. D.
题型三 简单几何体的体积
例5　(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
例6 圆环内圆半径为4，外圆半径为5，则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为(　　)
A. B．
C. D．
[玩转跟踪]
1. (2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π　　　　　　　　　 B．
C. D．
2.(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．

[玩转练习]
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
2.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

3.(2013·新课标全国Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )
A、cm3 B、cm3 C、cm3 D、cm3

4.（2019江苏9）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 .

5.(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　　)
A. B.
C. D.
6．（2019天津理11）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
7．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________.

8．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
9.(2018天津)已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 ．

10.(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

11．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．

12．若E，F是三棱柱ABC—A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A—BEFC的体积．