1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,常微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,常微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例,1.,一曲线通过点,(1,2),在该曲线上任意点处的,解,:,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,),则有如下关系式,:,(,C,为任意常数,),由,得,C,=1,因此所求曲线方程为,由,得,切线斜率为,2,x,求该曲线的方程,.,引例,2.,列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律,.,解,:,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米,已知,由前
2、一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明,:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程,.,即求,s,=s,(,t,).,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程,),微分方程的基本概念,一般地,n,阶常微分方程的形式是,的,阶,.,分类,或,引例,2,使方程成为恒等式的函数,.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的,初始条件,(,或初值条件,),:,的阶数相同,.,特解,引例,
3、1,通解,:,特解,:,微分方程的,解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为,积分曲线,.,例,1.,验证函数,是微分方程,的解,的特解,.,解,:,这说明,是方程的解,.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得,:,故所求特解为,故它是方程的通解,.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程,.,例,2.,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,如图所示,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,一阶微分方程的常见类型,第二节,及解法,1,可分离变量的微分方程,2,齐次的微分方程,3,一阶线性微分
4、方程,4,贝奴利方程,转化,可分离变量方程,一可分离变量方程,可分离变量的微分方程,分离变量方程的解法,:,设,y,(,x,),是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当,G,(,y,),与,F,(,x,),可微且,G,(,y,),g,(,y,)0,时,说明由确定的隐函数,y,(,x,),是的解,.,则有,称为方程的,隐式通解,或,通积分,.,同样,当,F,(,x,),=,f,(,x,)0,时,上述过程可逆,由确定的隐函数,x,(,y,),也,是的解,.,例,1.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,说明,:,在求解过程中每一步不一定是同解变
5、形,因此可能增、,减解,.,(,此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),例,2,.,解初值问题,解,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,例,3.,求下述微分方程的通解,:,解,:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解,:,例四,解法,1,分离变量,即,(,C,0,),解法,2,故有,积分,(,C,为任意常数,),所求通解,:,例,5.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律,.,解,:,根据题意,有,(,初始条件,),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规
6、律为,然后积分,:,已知,t,=0,时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,内容小结,1.,微分方程的概念,微分方程,;,定解条件,;,2.,可分离变量方程的求解方法,:,说明,:,通解不一定是方程的全部解,.,有解,后者是通解,但不包含前一个解,.,例如,方程,分离变量后积分,;,根据定解条件定常数,.,解,;,阶,;,通解,;,特解,y=x,及,y=C,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,.,常用的方法,:,1),根据几何关系列方程,2),根据物理规律列方程,3),根据微量分析平衡关系列方程,(2),利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,.,(3),求通解,并根据定解条件确定特解,.,3.,解微分方程应用题的方法和步骤,思考与练习,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),分离变量,(2),方程变形为,备用题,已知曲线积分,与路径无关,其中,求由,确定的隐函数,解,:,因积分与路径无关,故有,即,因此有,
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