高等数学B微分方程与差分方程二阶常系数线性差分方程.pptx

第八节 二阶常系数线性差分方程,第十章 微分方程与差分方程,二阶常系数线性差分方程的一般形式为,(1),其中,a,b,为常数,且,b,0,f,(,x,),为,x,的已知函数,.,当,f,(,x,),0,时,称方程,为二阶常系数齐次线性差分方程,.,下面介绍它们的求解方法,.,若,f,(,x,),0,则称方程,(1),为二阶常系数非齐次线性,差分方程,.,对于二阶常系数齐次线性差分方程,(2),根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出,它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，,即得通解,.,显然,原方程,(2),可以改写成,(3),由此我们可以看出,可用指数函数,来尝试求,看是否可以找到适当的常数,使 满足方程,(2),.,令,代人方程,(2),得,一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解,又因,即得,(4),称它为齐次方程的,特征方程,特征方程的根简称为特,征根,由此可见,为齐次方程,(2),的特解的充要,条件为,是特征方程,(4),的根,.,和二阶常系数齐次线性微分方程一样,根据特征根,的三种不同情况,可分别确定出齐次方程,(2),的通解,.,1,.,若特征方程,(4),有两个不相等的实根 与,此,时 与,;,是齐次方程,(2),的两个特解,且线性无关,.,于是齐次差分方程,(2),的通解为,(,为任意常数,),2,.,若特征方程,(4),有两个相等的实根,此时得齐次差分方程,(2),的一个特解,为求出另一个与 线性无关的特解,不妨令,(,不为常数,),将它代人齐次差分方程,(2),得,由于,故,将之改写为,即,由于,是特征方程,(4),的二重根,因此 且,于是得出,显然 是可选取的函数中的最简单的一个,于是,可得差分方程,(2),的另一个解为,从而差分方程,(2),的通解为,(,为任意常数,),3,.,若特征方程,(4),有一对共轭复根,这时,可以验证差分方程,(2),有两个线性无关的解,:,其中,从而差,分方程,(2),的通解为,(,为任意常数,),从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分,方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性,微分方程,的步,骤完全类似我们将它总结如下,:,第一步,写出差分方程,(2),的特征方程,(4),第二步,求特征方程,(4),的二个根,第三步,根据特征方程,(4),的两个根的不同情形，写,出差分方程,(2),的通解,.,(,可见教材 的表,),例,1,求差分方程 的通解,.,解,特征方程,有两个不相等的实根 从而原方程的通,解为,(,为任意常数,),例,2,求差分方程 的通解,.,解,原方程可改写成如下形式,它有两个相等的实根 所以原方程的通解,为,(,为任意常数,),其特征方程为,例,3,求差分方程 的满足初始条,件 的特解,.,解,特征方程为,先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，,特征方程的根为,于是,故原方程的通解为,(,为任意常数,),由初始条件 得,故所求特解为,二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解,对于二阶常系数非齐次线性差分方程,(1),根据通解的结构定理,求差分方程,(1),的通解,归结为,求对应的齐次方程,的通解和非齐次方程,(1),本身的一个特解,.,由于二阶常,系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决,所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程,的一个特解 的方法,.,在实际经济应用中,方程,(1),的右端,f,(,x,),的常见类型,是,(,为常数,0,且,1,),两种类型,.,(,表示,n,次多项式,),及,下面我们介绍用待定系数法求,f,(,x,),为上述两种情形,时 的求法,.,此时,方程,(1),为,可改写为,设 是它的解,代人上式,即得,由于,是一个已知的多项式,因此,应该也是一个,多项式,.,由于齐次方程,(2),的特征方程为,因此,(1),若,1,不是特征方程的根,即,1,+,a,+,b,0,那么说,明,应是一个,n,次多项式,于是令,把它代入方程,比较两边同次幂的系数,便可求出,从而求得,(2),若,1,是特征方程的单根,即,1,+,a,+,b,0,且,2,+,a,0,那么 是一个,n,次多项式,即说明 应是一个,n,+,1,次多项式,于是令,将之代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定出,从而求得,(3),如果,1,是特征方程的二重根即有,1,+,a,+,b,=,0,且,2,+,a,=,0,那么 应是一个,n,次多项式,即说明,应是一个,n,+2,次多项式,于是令,把它代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定,从而可求得,综上所述,可得如下结论,:,如果,则二阶常系数非齐次线性差分方,程,(1),具有形如,的特解,其中,是与,同次,(,n,次,),的待定多项式,而,k,的取值如下确定,:,(1),若,1,不是特征方程的根,是,k,=0,;,(2),若,1,是特征方程的单根,是,k,=1,;,(3),若,1,是特征方程的二重根,是,k,=2,.,例,4,求差分方程 的通解,.,解,(1),先求对应的齐次方程,的通解,特征方程为,特征方程的根为 于是,(2),再求原方程的一个特解,由于,1,不是特征方程的根,于是令,代人原方程得,解得 于是,(3),原方程的通解为,(,为任意常数,),例,6,求差分方程 的一个特解,.,解,所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为,由于,1,是特征方程的二重根,于是令特解为,代人原方程得,解出,a,=4,.,于是,(,为常数且,0,1,),此时,方程,(1),成为,引入变换,令 则原方程化为,即,这是右端为一个,n,次多项式的情况,.,按前面所讨论的方法,即可求出 从而,例,6,求差分方程,的通解,.,解,(1),先求对应的齐次方程,的通解 其特征方程为 特征方程的根,为 故,(2),再求原方程的一个特解 由于,故令 代人原方程得,下面先求这个方程的一个特解,由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为,其根为 因为,1,是特征方程的单根,于,是令,将它代人方程,并比较同次幂,的系数,得 于是,因此,(3),原方程的通解为,(,为任意常数,),本节结束,