1、第六节 差分与差分方程的概念、,常系数线性差分方程解的结构,第十章 微分方程与差分方程,在科学技术和经济管理的许多实际问题中，,经济变,量的数据大多按等间隔时间周期统计。,因此，各有关,变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系,和变化规律呢,?,差分方程是研究这类离散数学模型的有力工具。,一、差分的概念,设变量,y,是时间,t,的函数,如果函数,y,=,y,(,t,),不仅连,续而且还可导,则变量,y,对时间,t,的变化速率用,dy,/,dt,来刻画,;,但在某些场合,时间,t,只能离散地取值,从而变量,y,也只能按规定的离散时间而相应地离散地变化,这时,常用规定的时间区间上的差商,y
2、/,t,来刻画,y,的变化,速率,.,若取,t,=,1,那么,y,=y,(,t,+,1),y,(,t,),就可近似地代表变量,y,的变化速率,.,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,),当自变量,x,依次取遍非负整,数时,相应的函数值可以排成一个数列,f,(,0,),f,(,1,),f,(,2,),f,(,x,),f,(,x,+1,),将之简记为,当自变量从,x,变到,x,+1,时,函数的改变量,称为函数,y,在点,x,的,差分,(,或一阶差分,),记为,即,例,1,已知,(,C,为常数,),求,解,所以常数的差分为零,.,例,2,已知,(,其中,a,0,a,1,),求,解,可见,指数函数
3、的差分等于指数函数乘上一个常数,.,例,3,已知,求,解,例,4,已知 求,解,由一阶差分的定义,容易得到差分的四则运算法则,(,证明略,),下面给出高阶差分的定义,.,定义,2,当自变量从,x,变到,x,+1,时,一阶差分的差分,称为函数,y,=,f,(,x,),的,二阶差分,记为,即,同样,二阶差分的差分称为,三阶差分,记为,即,依次类推,函数,y,=,f,(,x,),的,n,阶差分为,解,例,5,设 求,解,例,6,设 求,一般地,对于,k,次多项式,它的,k,阶差分为常数,而,k,阶以上的差分均为零,.,二、差分方程的概念,定义,3,含有未知函数的差分,或,含有未知函数几个不,同时期值
4、的符号的方程,称为差分方程,其一般形式为,或,或,由差分的定义及性质可知,差分方程的不同表达形,式之间可以互相转化,.,例如,差分方程 可转化成,若将原方程的左边写成,则原方程又可化为,在定义,3,中,未知函数的最大下标与最小下标的差称,为,差分方程的阶,.,如,是三阶差分方程,又如差分方程,虽然它含有三阶差分 但是由于该方程可化为,因此,它是二阶差分方程,.,定义,4,如果一个函数代人差分方程,使方程两边恒,等,则称此函数为,差分方程的解,.,若在差分方程的解中,含有相互独立的任意常数的,个数与该方程的阶数相同,则称这个解为,差分方程的,通解,.,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性,往
5、往根据事物在初始时刻所处状态,对差分方程附加一,定条件,称之为,初始条件,.,当通解中所有任意常数被初始条件确定后,这个解,称为,差分方程的特解,.,三、常系数线性差分方程解的结构,为以后几节讨论的需要,这里将给出常系数线性差,分方程的解的结构定理,.,n,阶常系数线性差分方程的一般形式为,(1),其中 为常数,且 为已知,函数,.,当,f,(,x,),0,时,差分方程,(1),称为齐次的,;,当,f,(,x,),0,时,差分方程,(1),称为非齐次的,.,若,(1),是,n,阶常系数非齐次线性差分方程,则其所对,应的,n,阶常系数齐次线性差分方程为,(2),关于,n,阶常系数线性差分方程,
6、2),的解有如下一些,结论,:,定理,1,若函数,都是常系数齐次线性差分方程,(2),的解,则它们的线性,组合,也是方程,(2),的解,其中 为常数,.,定理,2,若函数,是,n,阶常系数齐次线性差分方程,(2),的,n,个线性无关,的解,则,就是方程,(2),的通解,(,其中 为常数,),.,由此定理可知,;,要求出,n,阶常系数齐次线性差分方,程,(2),的通解,只需求出其,n,个线性无关的特解,.,该定理称为常系数齐次线性差分方程的通解的结构,定理,.,定理,3,若 是非齐次方程,(1),的一个特解,是它,对应的齐次方程,(2),的通解,则非齐次方程,(1),的通解为,该定理告诉我们,要求非齐次方程,(1),的通解,可先,求对应的齐次方程,(2),的通解,再找非齐次方程,(1),的,一个特解,然后相加,.,该定理称为,n,阶常系数非齐次线性差分方程的通解,的结构定理,.,定理,4,若 分别是非齐次方程,的特解,则 是方程,的特解,.,本节结束,
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