1、课时规范练46 双曲线
基础巩固组
1.(2022江西吉安期末)若双曲线C:x2cos2θ−y2sin2θ=10<θ<π2的离心率为233,则θ=( )
A.π3 B.π4 C.π6 D.π12
2.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为( )
A.95 B.85 C.65 D.45
3.(2021北京,5)双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1 B.x23-y2=1
C.x2-3y23=1 D.3x23-y2=1
4.已知双曲线x2m+1−y2m=1
2、m>0)的渐近线方程为x±3y=0,则m=( )
A.12 B.3-1
C.3+12 D.2
5.(2021全国乙,文14)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
6.(2022北京,12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m= .
综合提升组
7.(2022河南焦作二模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为( )
A.35 B.45 C.23 D.34
8.设F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作
3、双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为( )
A.332 B.6 C.3 D.62
9.已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A,B两点,已知l的倾斜角为30°,则tan∠AFB=( )
A.-2 B.-3
C.-22 D.-23
10.(2022全国甲,文15)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
创新应用组
11.(2021浙江,
4、9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
参考答案
课时规范练46 双曲线
1.C 设双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a,b,c,则由题意,得a=cos θ,b=sin θ,c=cos2θ+sin2θ=1.又离心率为233,则1cosθ=233,cos θ=32.又0<θ<π2,所以θ=π6.故选C.
2.A 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的
5、距离为|3×3-4×0|32+(-4)2=95.故选A.
3.A ∵e2=1+b2a2=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1,由双曲线过点(2,3),得2a2−33a2=1a2=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2-y23=1.故选A.
4.A 由双曲线x2m+1−y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±3y=0,得mm+1=13,解得m=12.
5.5 由双曲线方程可得c=4+5=3,即双曲线的右焦点为F(3,0).
则点F到直线x+2y-8=0的距离d=|3+2×0-8|12+22=5.
6.-3 由题意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以双曲线的
6、渐近线方程为y=±x-m=±33x,解得m=-3.
7.A 因为C的离心率为5,所以它的渐近线的斜率为±ba=±(ca) 2-1=±2,则可取两条渐近线上的向量a=(1,2),b=(-1,2),渐近线所成的锐角即这两个向量的夹角,cos=35×5=35.
8.D 由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,由题意,|HF2|=|bc-0|a2+b2=b,∴|OH|=a,由S△OHF2=12cyH=12ab,得yH=abc,∴Ha2c,abc,∴|HF1|=(a2c+c) 2+(abc) 2=3|HF2|=3b,两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b
7、2=2b4,∴2b2a22+b2a22-1=0,解得b2a2=12,∴e2=1+b2a2=32,e=62,故选D.
9.C 由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx+b2=0化为(x-c)2+y2=a2,圆心(c,0),半径为a,l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,由l的倾斜角为30°,可得ba=tan 30°=33,过F作FD⊥AB,点D为垂足,F(c,0)到直线l的距离为|FD|=|bc|b2+a2=b,∴|BD|=a2-b2,则tan∠DFB=|BD||FD|=a2-b2b=a2b2-1=2,得tan∠AFB=tan 2∠DFB=2tan∠DFB1-tan2∠DFB=221-2=-22.故选C.
10.2(答案不唯一,只要1
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