高等数学同济六版微分中值定理与导数应用.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,目录 上页 下页 返回 结束,第六节,一、曲线的渐近线,二、函数图形的描绘,函数图形的描绘,第,三,章,无渐近线,.,点,M,与某一直线,L,的距离趋于,0,一、,曲线的渐近线,定义,.,若曲线,C,上的点,M,沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线,L,为,曲线,C,的,渐近线,.,例如,双曲线,有渐近线,但抛物线,或为,“纵坐标差”,1.,水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,例,1.,求曲线,的渐近线,.,解,:,为水平渐近线,;,为铅直渐近线,.,2.,斜渐近线,斜渐近线若,(P76,题,14),例,2.,求曲线,的渐近线,.,解,:,所以有铅直渐近线,及,又因,为曲线的斜渐近线,.,二、函数图形的描绘,步骤,:,1.,确定函数,的定义域,期性,;,2.,求,并求出,及,3.,列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点,;,4.,求渐近线,;,5.,确定某些特殊点,描绘函数图形,.,为,0,和不存在,的点,;,并考察其对称性及周,例,3.,描绘,的图形,.,解,:,1),定义域为,无对称性及周期性,.,2),3),(,极大,),(,拐点,),(,极小,),4),例,4.,描绘方程,的图形,.,解,:,1),定义域为,2),求关键点,.,原方程两边对,x,求导得,两边对,x,求导得,3),判别曲线形态,(,极大,),(,极小,),4),求渐近线,为铅直渐近线,无定义,又因,即,5),求特殊点,为斜渐近线,6,）绘图,(,极大,),(,极小,),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,无定义,例,5.,描绘函数,的图形,.,解,:,1),定义域为,图形对称于,y,轴,.,2),求关键点,3),判别曲线形态,(,极大,),(,拐点,),为水平渐近线,5),作图,4),求渐近线,(,极大,),(,拐点,),水平渐近线,;,垂直渐近线,;,内容小结,1.,曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2.,函数图形的描绘,思考与练习,1.,曲线,(,A,),没有渐近线；,B,),仅有水平渐近线；,(,C,),仅有铅直渐近线；,(,D,),既有水平渐近线又有铅直渐近线,.,提示,:,拐点为,凸区间是,2.,曲线,的凹区间是,提示,:,及,渐近线,.,P76 14,(2);,P169 2;5,作业,第七节,备用题,求笛卡儿叶形线,的渐近线,.,解,:,令,y,=,t,x,代入原方程得曲线的参数方程,:,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,叶形线,笛卡儿,叶形线,笛卡儿叶形线,参数的几何意义,:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点,动画开始或暂停,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容,:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第,三,章,一、弧微分,设,在,(,a,b,),内有连续导数,其图形为,AB,弧长,则弧长微分公式为,或,几何意义,:,若曲线由参数方程表示,:,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注意,:,直线上任意点处的曲率为,0!,转角为,例,1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率,.,解,:,如图所示,可见,:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害,;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小,.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,说明,:,(1),若曲线由参数方程,给出,则,(2),若曲线方程为,则,例,2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率,.,点击图片任意处播放,暂停,说明,:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化,.,例,2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且,l,R,.,处的曲率,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解,:,显然,例,3.,求椭圆,在何处曲率最大,?,解,:,故曲率为,K,最大,最小,求驻点,:,设,从而,K,取最大值,.,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值,:,最大,.,K,最大,最小,三、曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在点,在曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(,密切圆,),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系,:,(1),有公切线,;,(2),凹向一致,;,(3),曲率相同,.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,设曲线方程为,且,求曲线上点,M,处的,曲率半径及曲率中心,设点,M,处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式,.,满足方程组,由此可得曲率中心公式,(,注意,与,异号,),当点,M,(,x,y,),沿曲线,移动时,的轨迹,G,称为曲线,C,的,渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线,C,称为曲线,G,的,渐伸线,.,屈线的参数方程,(,参数为,x,).,点击图中任意点动画开始或暂停,例,4.,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适,?,解,:,设椭圆方程为,由例,3,可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题,.,例,3,(,仍为摆线,),例,5.,求摆线,的渐屈线方程,.解,:,代入曲率中心公式,得渐屈线方程,摆线,摆线,摆线,摆线,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点,M,的轨迹即为摆线,.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,内容小结,1.,弧长微分,或,2.,曲率公式,3.,曲率圆,曲率半径,曲率中心,思考与练习,1.,曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系,?,答,:,有公切线,;,凹向一致,;,曲率相同,.,2.,求双曲线,的曲率半径,R,并分析何处,R,最小,?,解,:,则,利用,作业,第八节,P177 4,；,5,；,7,；,8,；,*,9,三、一般迭代法,(,补充,),第八节,可求精确根,无法求精确根,求近似根,两种情形,(,有时计算很繁,),本节内容,:,一、根的隔离与二分法,二、牛顿切线法及其变形,方程的近似解,第,三,章,一、根的隔离与二分法,(1),作图法,1.,求隔根区间的一般方法,(2),逐步收索法,由图可见只有一个实根,可转化为,以定步长,h,一步步向右,搜索,若,搜索过程也可从,b,开始,取步长,h,0,时,从而,在,上单调增,.,得,例,9.,设,在,上可导,且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点.,证,:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点.,思考,:,若题中,改为,其他不变时,如何设辅助函数,?,例,10.,求数列,的最大项,.,证,:,设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大值点,因此,在 处,也取最大值,.,又因,中的最大项,.,极大值,列表判别,:,例,11.,证明,证,:,设,则,故,时,单调增加,从而,即,思考,:,证明,时,如何设辅助,函数更好,?,提示,:,例,12.,设,在,上,存在,且单调,递减,有,证,:,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立,.,证明对一切,例,13.,证,:,只要证,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立,.,例,14.,证明当,x,0,时,证,:,令,则,法,1.,由,在,处的二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立,.,与,1,之间,),法,2.,列表判别,.,即,例,15.,求,解法,1,利用中值定理求极限,原式,解法,2,利用泰勒公式,令,则,原式,解法,3,利用洛必达法则,原式,P182,5;,*,7;,*,8;10,(2),(3);,11,(1),;,17,;,20,作业,备用题,1.,设函数,上具有二阶导数，且满足,证明序列,发散,.,证：,故序列,发散,.,(2007,考研）,保号性,定理,2,.,设,在区间,上连续,且,试证存在,使,证,:,不妨设,必有,使,故,保号性,定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知,存在,使,3.,已知函数,内可导,且,证,:,(1),令,故存在,使,即,(2005,考研）,内可导,且,(2),根据拉格朗日中值定理,存在,使,3.,已知函数,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,4.,设函数,证,:,据泰勒定理,存在,使,由此得,即有,(2007,考研）,情形,1,.,则有,内具有二,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,情形,2,.,因此据零点定理,存在,即有,则有,4.,设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,