高等数学下复习.pptx

单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、区域的连通性及区域边界的方向,设,D,为平面区域，如果,D,内任一闭曲线所围的部分都属于,D,，则称,D,为平面,单连通区域,，否则称为,复连通区域,。,复连通区域,单连通区域,D,D,边界曲线,L,的正向,:,当观察者沿边界行走时，区域,D,总在他的左边。,二、格林公式,定理,1,设闭区域,D,由分段光滑曲线,L,围成，函数,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),在,D,上具有一阶连续偏导数,则成立,格林公式：,其中,L,是,D,的取正向的边界曲线。,证明,(1),区域,D,既是,X,型又是,Y,型，即平行于坐标轴穿过,D,内部的直线与,D,的边界,L,恰好交于两点，这样,D,可表示为下面的两种形式：,y,x,O,a,b,D,c,d,A,B,C,E,同理可证,y,o,c,x,d,D,C,E,B,A,(2),若区域,D,不符合,(1),的要求，则可将,D,分成若干个符合要求的小区域。如图,D,两式相加得,将,D,分成三个既是,X,型又是,Y,型的小区域,D,1,D,2,D,3,，则,说明：,1.,格林公式的实质,:,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。,2.,便于记忆的形式,3.,格林公式对于,复连通区域也成立,(,证明,(2),含有这种情形,),，但应注意：外面的边界方向逆时针，里面的边界方向顺时针。,设平面区域,D,的边界曲线,L,，则其面积,三、应用举例,1.,用曲线积分表示平面区域的面积,(,P,=0,Q,=,x,),(,P,=,y,Q,=0,),例,1(P174),解,L,：,x,=,a,cos,y,=,b,sin,a,b,2.,计算,二重,积分,x,y,O,解,令,P,=,0,Q,=,则,例,2,计算,其中是,D,以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1),为顶点的三角形闭区域。,(P175),D,x,y,O,L,4.,计算,非,封闭,曲线上的曲线积分,A,B,3.,计算,闭,曲线上的曲线积分,(P172,例,2),解,引入闭曲线,例,3,计算,其中积分曲线是半径为,r,的圆在第一象限的部分,(,如图,),。,A,B,O,D,解,5.,偏导数在区域内有不连续点,例,4(P146),计算,，,其中,L,为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，,L,的方向为逆时针方向。,y,x,O,x,y,O,L,(1),当,(0,0),D,时，,(2),当,(0,0),D,时，,由格林公式,作位于,D,内的小圆周,l,:,把,L,和,l,围成的闭区域记作,D,1,，,应用格林公式得,(,l,逆时针方向,),x,y,(,注意格林公式的条件,),O,小结：,计算第二类曲线积分时，如果被积函,数或曲线,L,的方程较复杂，应首先考虑使用格林公式。,若,L,不是闭曲线，可适当添加曲线,(,通常是,直线段,),使之与,L,构成闭曲线，再用格林式。,2.,若,L,围成的区域,D,内含有,的不连续,点,P,0,应选取适当的闭曲线,(,通常是以,P,0,为中,心的小圆,),将点,P,0,从,D,内挖去，再在剩余的区,域上应用格林公式。,G,y,x,O,四、平面曲线积分与路径无关的条件,B,A,如果对于区域,G,内任意两点,A,、,B,及,G,内从,A,到,B,的,任意两条,曲线,L,1,、,L,2,等式,1,定义,：,恒成立，则称曲线积分,无关,，,否则称为,与路径有关,。,在,G,内,与路径,2.,曲线积分与路径无关的条件,在,G,内与路径无关,(或沿,G,内任意闭,曲线的曲线积分为零,),的充要条件是：在,G,内恒成立等式,定理,2,设,G,是一个单连通开区域，函数,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),在,G,内具有一阶连续偏导数，则曲线积分,G,D,充分性,在,G,内任取两点,A,、,B,并任取两条,A,B,L,1,从,A,到,B,的光滑曲线,L,1,、,L,2,，把,L,1,、,L,2,围成的区域记作,D,，则,L,2,证明,必要性,取正向，有,矛盾。,对于含于,G,内的圆,L,：,因,Q,x,P,y,在点,(,x,0,y,0,),连续，故,r,0,当,G,说明：,1.,在定理的条件下，在,G,内下列结论等价：,(1),G,是单连通区域是为了保证,G,内,的任意闭曲线围成的区域,D,G,；,(2),P,、,Q,有一阶连续偏导数是为了应用格林公式。,G,A,B,(1),与路径无关；,(2),对于,G,内任一闭曲线,C,，；,(3),2.,定理的两个条件缺一不可：,例,6,求 ，,L,为抛物线,y,=,x,2,1,上从点,解,令,所以积分与路径无关。选择如图所示的路径：,x,y,A,B,A,1,B,1,A,(,1,0),到点,B,(2,3),的一段弧。,AA,1,+,A,1,B,+,B,1,B,，则,x,y,A,B,说明,：本题不能选用图中虚线所示的路径。一般地，利用积分与路径无关简化计算时，通常选用直线段或折线段，但要特别注意：所选线段与原曲线所围成的区域内，,P,y,、,Q,x,一定要连续。,五、二元函数的全微分,证明,必要性,定理,3,设,G,是一个单连通开区域，函数,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),在,G,内具有一阶连续偏导数，则,微,分的充要条件是：在,G,内恒成立等式,P,(,x,y,),dx+Q,(,x,y,),dy,在,G,内为某函数,u,(,x,y,),的全,充分性,任取,而,P,y,、,Q,x,连续，即,u,xy,、,u,yx,连续，故,u,xy,=,u,yx,=,P,y,=,Q,x,。,因积分与路径无关，故,在,G,内定义了一个单值的二元函数。,(,x,y,),(,x0,y,0,),.,(,x+,x,y,),u,(,x+,x,y,),u,(,x,y,)=,(,x,y,),(,x,0,y,0,),.,(,x+,x,y,),其中,0,1。,同理,这样证明了,du,=,P,(,x,y,),dx,+,Q,(,x,y,),dy,。,求,u,(,x,y,),的方法,.,.,M,(,x,y,),x,y,在区域,G,内选定一点,M,0,(,x,0,y,0,),并任取一点,M,(,x,y,),，沿平行于坐标轴从,M,0,到,M,的折线,L,1,或,L,2,计算曲线积分,得,或,注：,由于,常数。,例,7(P151),验证：,某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。,解,xy,取积分路径如图所示，得：,.,(1,0),(,x,y,),注,：本题的初始点不能选择为,(0,0),。,x,y,(,x,y,),例,8,选择,a,、,b,使,(,x,+,ay,),dx,+(,x,bx,2,+,y,),dy,为某,函数,u,(,x,y,),的全微分，并求,u,(,x,y,),。,解,令,P,=,x,+,ay,，,Q,=,x,bx,2,+,y,。,为使,Pdx,+,Qdy,是,u,(,x,y,),的全微分，必须,P,y,=,a,=,Q,x,=,1,2,bx,于是,a,=1,，,b,=0,，,P,=,Q,=,x,+,y,。,u,(,x,y,),=,因,u,x,=,P,=,x,y,，故有,而,u,y,=,x,+,c,(,y,),=,Q,=,x,+,y,，得,c,(,y,),=,y,，,又解,(,用,偏积分,的方法求,u,(,x,y,),),解,例,9,设曲线积分 与路径无关,其中 函数,(,x,),具有连续导数,且,(0),=,0,计算,曲线积分,P,(,x,y,),=,xy,2,Q,(,x,y,),=,y,(,x,),.,因积分与路径无关，,得,习题,(P153),：,3,，,4(1),，,5(1)(3),，,6(2)(5),，,7,y,(,x,),=,2,x,y,(,x,),=,x,2,+c,由,(0),=,0,得,c,=,0,从而,(,x,),=,x,2,。,六、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等,价,命,题,1.,计算,的上半圆周由,A(2,a,0),到,O(0,0),与,的上半圆周由,O(0,0),到,B(,a,0),连成的曲线,AOB.,2.,计算,方向。,解,例,2,求曲线,(,x,+,y,),2,=,ax,(,a,0),与,x,轴所围图形的面积。,ONA,为直线,y,=,0,，,曲线,AMO,为,x,0,1,