等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案).doc

等腰三角形常用辅助线 专题练习
（含答案）

1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F， 则AF⊥DE。 ∵AB=AC，AD=AE
又∵AF⊥BC ，AF⊥DE， ∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与 底边上的中线互相重合）。 ∴BD=CE.

2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD， 连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说 明理由
解：AF⊥DE．理由： 延长ED交BC于G， ∵AB=AC，AEAD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE， ∠BGE+∠CGD=180° ∴∠BGE=∠CGD=90° ∴EG⊥BC． ∵AF∥BC ∴AF⊥DE．

解法2：
过A点作△ABC底边上的高，
再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE

3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中， ∵BA=BC， ∴∠A=∠C， ∵DF⊥AC， ∴∠C+∠FEC=90°， ∠A+∠D=90°， ∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED， ∴∠BED=∠D， ∴BD=BE， 即△DBE是等腰三角形．

4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC.
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵AD=AE， ∴∠D=∠AED，
∴∠B+∠D=∠C+∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，
∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°， ∴DF⊥BC;
若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD.
证明： 连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90° ∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM≌RT△ADM (HL)
∴CM=DM

6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC
证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC， ∴∠FGB=∠CAF， ∠DBG=∠ACD
在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD中 ∵∠DBG=∠ACD，BD=CD， ∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC
∴BF=AC

7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上， 且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC
证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中 ∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE平分∠BAC

8. 已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在 延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求 证：BD=CE
证明：过D作DF∥AC交BC于F， ∵DF∥AC（已知）， ∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质） ∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠ACB（等边对等角）， ∴∠B=∠DFB（等量代换）， ∴BD=DF（等角对等边）， ∵BD=CE（已知）， ∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE， ∠DGF=∠CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=GE（对应边相等）

9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点， BE⊥CB 交CD于E,AC⊥DC, 求证：BE=1/2BC
证明：过点A作AF⊥BC交BC于点F
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…（1） ∴AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……（2） ∵BE⊥BC，∴BE//AF ∴∠DBE=∠BAF………………………………（3） ∵∠CBE=90° ∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………（4） 由（1）和（4）知道：∠DBE=∠ECB………………（5） 由（3）和（5）知道：∠BAF=∠ECB 又∵AB=CE，∠BFA=∠EBC=90° ∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边） ∴BF=EB…………………………（6） 由（2）和（6）知道：BE=BC/2

10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交 BA延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)
证明： （1）延长EM，使EM=MG，连接CG
∵点M是BC的中点 ,∴BM=CM ∵∠BME=∠CMG ∴△BME≌△CMG（SAS)
∴BE=CG,∠E=∠G
∵AD平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE ∴∠E=∠AFE， ∴AE=AF ∵∠AFE=∠CFG ， ∴∠G=∠CFG ∴CF=CG ， ∴BE=CG， ∴BE=CF

(2)∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF
∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) ∵AC=AF+CF ∴2BE=AB+AC ∴BE=CF=1/2(AB+AC)

11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C. 试说明AB+BD=CD的理由。 证明： 在DC上截取DE=BD，连接AE ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90° ∵AD=AD ∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS) ∴AB=AE ，∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC ∵∠ABC=2∠C（已知） ∴∠EAC=∠C
∴AE=CE ，∴AB=CE ∵CD=CE+DE ，∴AB+BD=CD

12.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：∠B=2∠C.
证明：在AC上作AE＝AB，连结DE ∵AC=AB+BD＝AE+CE ,∴BD＝CE ∵AD是角平分线 ,∴∠BAD＝∠EAD 又∵AB=AE，AD=AD ∴△ABD≌△EAD ∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE
∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C
即:∠B＝2∠C

13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C. 求证：AC=AB+BD.
证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DE
∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义） ∵公共边AD=AD AC=AE ∠BAD=∠DAC ∴△ACD≌△AED (SAS) ∴∠ACB=∠DEA（全等三角形形的对角相等）
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA ∠CBA=2∠ACB ∠ACB=∠DEA ∴∠BDE=∠DEA ∴BD=BE（等角对等边）
∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
∴AB+BD=AC

14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB, △ABC外一点D满 足BD=AC,且BE平分∠BDE。 求∠BDE的度数 解：连接CE， ∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边， ∴△BCE≌△ACE， ∴∠BCE=∠ACE=30° 又∵BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边， ∴△BDE≌△BCE， ∴∠BDE=∠BCE=30°

15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且 EB=BD=DE. 求证：BD+DC=AD. A
提示：证明△ABE≌△BCD即可 E B C

16.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分 ∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E， 求证：CT=BE
证明1： 作DF∥BC交AB于F,则:
∵∠AFD=∠B=∠ACD, AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边 ∴△AFD≌△ACD,AF=AC 连接TF ∵AF=AC, AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边 ∴△ACT≌△AFT, TF⊥AF,TF∥CM ∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF ∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形 ∴CT=DF=BE

证明2： 作TF⊥AB于F,则: ∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD ∴∠CDT =∠CTD , ∴CT=CD ∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB，AC⊥TC ∴CT=TF=CD ∵DE∥BF,TF∥CD, ∴∠DEC=∠B, ∠DCE=∠FTB 又∵TF=CD ∴△CDE≌△TFB, ∴CE=BT ∴CE-TE=BT-TE,CT=BE