初中数学基础知识及经典题型.pdf

初中数学参考资料综合知识讲解目录第一章绪 论.21.1 初中数学的特点.21.2 怎么学习初中数学.21.3 如何去听课.51.4 几点建议.6第二章应知应会知识点.82.1 代数篇.82.2 几何篇.12第三章例题讲解.19第四章兴趣练习.384.1 代数部分.384.2 几何部分.52第五章复习提纲.57第1页共79页初中数学参考资料第一章绪 论1.1 初中数学的特点1.2._3._4._5._6._7._8._9._1 0._1 1._1 2._1 3._1 4._1 5._1 6._1.2怎么学习初中数学1,培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意 学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。第2页共79页初中数学参考资料在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认 识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能 建立好的学习数学兴趣呢？(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。(2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中 疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答 老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。(3)思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。(4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的 方法怎样是产生的？(5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念 也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来 的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*,在应用概念判断、推理时会准确。2,建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良 好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是多质疑、勤 思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课 前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个 方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊 语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便 加宽知识面和培养自己再 学习能力。3,有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和 分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养 的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象 能力是通过实例净 化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进 行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别 第3页共79页初中数学参考资料是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习 题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等,都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要 重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合 思想，运动 思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的 方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在 具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综 合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进 入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭 繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相 辅等。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成 积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律,善于开动 脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于 现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题,挖掘问题的实 质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题 不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最隹学习方法。6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展 的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的 第4页共79页初中数学参考资料未解决的问题，以便今后将其补上。建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。1.3 如何去听课认真听好每一节棵。要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和 规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来 学会数学知识，掌握学习数学的方法。概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉 搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬 背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在 解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一 遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且 要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚 持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探 究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解 题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待 大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小力 以“退”为“进。也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始 的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进 一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课第5页共79页初中数学参考资料在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有 没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法,这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题（包 括基本图形、图像等），典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有 哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订 出改正的措 施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记 下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什 么会错，怎么改 正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展 能力的目的因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举 一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。1.4 几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高 考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再 犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东 西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理 严密。3、记忆数学规律和数学小结论。4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。5、争做数学课外题，加大自学力度。6、反复巩固，消灭前学后忘。7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分 类。总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极 展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有 效地学数学。第6页共79页初中数学参考资料其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改 变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习 等多样化 的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会”提出问题一实验探究 一开展讨论一形成新知一应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到 多样的转变，我 们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第7页共79页初中数学参考资料第二章应知应会知识点2.1代数篇一数与式（一）有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算（二）实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次帚负指数次帚（三）代数式15代数式 代数式的值16列代数式（四）整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19塞的有关运算性质20乘法公式第8页共79页初中数学参考资料21因式分解（五）分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算（六）二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二方程和不等式（一）一元一次方程28方程方程的解的有关定义29 一元一次的定义30 一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）35二元一次方程组的应用（三）一元二次方程36 一元二次方程的定义37 一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法）38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39 一元二次方程的应用（四）分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法（转化为整式方程 检验）42分式方程的增根的定义第9页共79页初中数学参考资料43分式方程的应用（五不等式和不等式组44不等式（组）的有关定义45不等式的基本性质46 一元一次不等式的解法47 一元一次不等式组的解法48 一元一次不等式（组）的应用三函数（一）位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题：P（x,y）-Q（x,-y）关于x轴对称P（x,y）Q（-x,y）关于y轴对称P（x,y）Q（-x,-y）关于原点对称54变量 自变量 因变量 函数的定义55函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）56函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数57 一次函数的定义与正比例函数的定义58 一次函数的图象：直线，画法59 一次函数的性质（增减性）60 一次函数y=kx+b（kN0）中k b符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62 一次函数的平移问题63 一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象 法）64 一次函数的实际应用第10页共79页初中数学参考资料65 一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质（增减性质）70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）（四）二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）74二次函数解析式的确定（待定系数法）75二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77二次函数y=a x2+bx+c（a N0）中a b c 与特殊式子的符号与图象位置关 系78求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题（实际应用）82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二次函数与其它函数综合第11页共79页初中数学参考资料(3)二次函数与不等式的综合(4)二次函数与几何综合2.2几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行 同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等180。18直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边 对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)第12页共79页初中数学参考资料26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于60。34等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中 如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的 一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点 在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于 这条直线对称46直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 即a+b=c47如果三角形的三边长a b c有关系a+b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于360。49四边形的外角和等于360。50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)X180。第13页共79页初中数学参考资料51任意多边的外角和等于36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半 即S=(a Xb)+267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角 四条边都相等70正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心 平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这 两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形第14页共79页初中数学参考资料78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半L=(a+b)S=Lxh83 如果 a:b=c:d 那么 a d=bc如果a d=bc 那么a:b=c:d84如果a/b=c/d那么(a ib)/b=(cid)/d85 如果 a/b=c/d=m/n(b+dH-FnNO)那么(a+c+.+m)/(b+d+.+n)=a/b86三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三 角形与原三角形相似91两角对应相等 两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94三边对应成比例 两三角形相似(SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比第15页共79页初中数学参考资料97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的 一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦 的弦心距相等115在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有 一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也 相等第16页共79页初中数学参考资料118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和。相交dr122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例 中项132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rd r)两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含dr)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成n(n23):第17页共79页初中数学参考资料依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)X1800/n140正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnm/2 p表示正n边形的周长142正三角形面积J 3a/4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角 由于这些角的和应为360因此 kX(n-2)180/n=360 化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nI I R/180145 扇形面积公式:S扇形=n!I R/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)第18页共79页初中数学参考资料第三章例题讲解【例1】如图10,平行四边形相口中，AB=5,BC=10,/边上的高力24,E 为夕。边上的一个动点(不与反。重合).过作直线力方的垂线，垂足为F.FE 与。的延长线相交于点G,连结,DFO(1)求证：A BEF A CEG.(2)当点在线段 以上运动时，板和的周长之间有什么关系？并说明你的理由.(3)没BE=x,斯的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式，并求 出当x为何值时，p有最大值，最大值是多少？图10第19页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值1)因为四边形力夕必是平行四边形，所以AB|OG.1分所以 ZB=ZGCE,NG=ZBFE所以 ABEFsCEG.3 分(2)石尸与。石G的周长之和为定值.4分理由一 E过点。作刀G的平行线交直线A8于H,因为 前1力夕，所以四边形e%6为矩形.所以FH=CG,FG=CH因此，人8石尸与。石G的周长之和等于况土叱加由 比=10,AB=5,匈仁4,可得 058,BH=6,所以 BC+CH+BH=2A.6 分理由二：由力6=5,AM4f可知 H/在 Rt应F与 RtCCF中，有：尸)二11331rzEF=-BE,BF=-BE,GE=-EC.GC=-CE,/5 5 5 5/、1、/12 i?B/C所以，町的周长是一B/，的周长是一C石5 5 G又BE+CE=O,因此5与。/G的周长之和是24.6分4 3(3)设 BE=x,则石尸=兀 GC=-(10-x)1 1/I 2 0)与坐标轴交于点A B C且0A=1 0B=0C=3.(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3)点M N在y=ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边)且小万轴 求 以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.第21页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值(1)依题意 A(1,O),B(3,0),C(0,3)分别代入 了=。/+/+。.i 分解方程组得所求解析式为y=2x 3.4分(2)y=x1 2x 3=(x I)2 4.5 分.顶点坐标(L 4),对称轴x=l.7分(3)设圆半径为r,当MN在x轴下方时，N点坐标为(1+r,r).8分_1 _l a/v7iEN点代入y=Y2x 3得厂=.9分+1+VI 72同理可得另一种情形厂=圆的半径为 后 或上版10分22第22页共79页初中数学参考资料【例3】已知两个关于x的二次函数为与当不=左时，为=17;且二次函数为的图象的对称轴是直为，%=a(x-k)2+2(k 0),%+为=+6x+12线x=-1.(1)求人的值；(2)求函数%,为的表达式；(3)在同一直向坐标系内，问函数为的图象与为的图象是否有交点？请说 明理由.第23页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值(1)由 X=。(九一女)2+2,%+为=X?+6%+12得 2=(J1+2)%-犬2+6x+12 Q(九一女)2 2=%2+6x+10 Q(九一女)2又因为当工=左时，为=17,即左2+6左+10=17,解得勺=1,或左2二7(舍去)，故人的值为1.(2)由左=1,得为=%2+6x+10 I)?(1 a)%?+(2q+6)x+10。，所以函数为的图象的对称轴为X=-二1,2(1 Q)于是，有色g=1,解得Q=1,2(1-Q)所以 为=+2x+1,为=2犬2+4犬+11.(3)由=(X 1了+2,得函数为的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；由为=2/+41+11=20+1)2+9,得函数为的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标 为(-1,9)；故在同一直角坐标系内，函数为的图象与为的图象没有交点.第24页共79页初中数学参考资料例4如图,抛物线y=f+4x与x轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点0,得到直线1,设P是直线1上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B、0、P为顶点的四边形也有菱形、等腰梯形、直角梯形请分别直接写 出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、0、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6后V S V 6+8行时，求x的取值范围.第25页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值解：(1)y=x2+4x=(x+2)24Z.A(-2,-4)(2)四边形ABPQ为菱形时,PM-2,4)2 4四边形ABOP?为等腰梯形时，4 8四边形ABP3O为直角梯形时，PA-j,-)四边形ABOP为直角梯形时，PAp-y)(3)由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线I的函数关系式是 y=-2x当点P在第二象限时，x0,POB 的面积 Sapor x 4 x(2%)4xlXT C7Z5 2 ，AA0B 的面积S=Jx4x4=8,ZA/1C71?21 S=S0B+SOb=-4犬+8(x 0)V4+6a/2S4+672S-2sv*2.X的取值范围是匕岁0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A，、P，则四边形POA，A的面积4+2x 1SPOAA=S梯形pp*A SbPPo=.(X+2)_ 5.(2%)X=4%+4AAA B 的面积=x 4 x 2=4ZA/l/l D 2*e S=POA,A+AAA,B-4x+8(x 0)V4+6a/2S4+672S6+8a/2 BP4x+8-2sv迪匚 23 行-2 4J2-1.x的取值范围是16 Vl第27页共79页初中数学参考资料【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润力与投资量九成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润乃与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润乃与为关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少 利润？他能获取的最大利润是多少？第28页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值解：（1）设月二日，由图所示，函数月二日的图像过（1,2）,所以2二左k=2故利润月关于投资量光的函数关系式是=2%；因为该抛物线的顶点是原点，所以设为二/，由图12-所示，函数乃二/的图像过（2,2）,9 1所以2=-22,a=-2故利润为关于投资量x的函数关系式是丁=；/；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0Vx8）,则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8-x）+-x2=-x2-2x+16=-（x-2）2+14当x=2时，z的最小值是14；因为0 xV8,所以2Vx 2V6所以（%2）2 D(30),a=-l,，抛物线Lt为犷-一G+D(工一3),即 y=x2+2x V3.(2)存在.令 n-0,得 y=3,，M(O,3).,抛物线L?是L向右平移2个单位得到的，工点 N(2,3)在 L*上，且 MNiMN/AC,又.AC=2,MN=AC.:,四边形ACNM为平行四边形.同理，a 上的点 N(2,3)满足 NMAC,NM=AC.:.四边形ACMN是平行四边形.义(2,3)，？/(一2,3)即为所求设P(n，“)是 上任意一点则点尸关于原点的对称点Q(-4，-3且”=一工/-2/1+3：将点Q的横坐标代入Lz，得 比。一4/2与+3Hty淤一“，点Q不在抛物线G上.第34页共79页初中数学参考资料【例7】如图，在矩形中，AB=9,4。=36，点尸是边BC上的动点(点尸不与点点。重合)，过点尸作直线尸。B。，交。边于。点，再把尸QC沿着动直线尸。对折，点。的对应点是H点，设。尸的长度为九，APQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.(1)求NC0尸的度数；(2)当x取何值时，点尺落在矩形的边上?(3)求y与犬之间的函数关系式；第35页共79页初中数学参考资料解析过程及每步分值解：(1)如图，.四边形ABC。是矩形，.A5=C。，AD=BC.又 AB=9,AD=3y/3,ZC=90,/.CD=9,BC=343./.ta n ZCDB=,/.ZCDB=30.CD 3 PQ/BD,ZCQP=ZCDB=30.(2)如图1,由轴对称的性质可知,ARPQACPQ,n Q rZRPQ=ZCPQ,RP=CP.P由(1)知 NC。尸=30,/.ZRPQ=ZCPQ=60,(图 1)ZRPB=60,RP=2BP.*/CP=x,PR=x,PB=3a/3 x.在HPB中，根据题意得：2(36x)=x,解这个方程得：x=26.(3)当点H在矩形的内部或AB边上时，0 x 2a/3,S5。q=；xCPxCQ=；x&=*x2，L、万.ARPQACPQ,.当0jcW2Q时，y当E在矩形ABC。的外部时(如图2),2/3 x 3V3,在 Rt尸尸5 中，/ZRPB=60,二.PF=2BP=2(343-x),又RP=CP=x,/.RF=RP-PF=3x-643,在RtZkER/中，/ZEFR=ZPFB=30,;.ER=Cx 6.第36页共79页初中数学参考资料1 a C.S丛erf=ERxFR=X2-ISx+1843,y=sarpq-serf，.当26犬3百时，y=瓜2+18118百._y2（0 y2x/3综上所述，y与x之间的函数解析式是:y=2 I）.、-瓜 2+18%18G（2 百%3 百）矩形面积=9x36=27百，当066，所以，当0犬26时，y的值不可能是矩形面积的工；27当26136，所以犬=36+也不合题意，舍去.所以犬=3。一血.综上所述，当犬=36-血时，尸QH与矩形A5C。重叠部分的面积等于矩形面积的727,第37页共79页初中数学参考资料第四章兴趣练习4.1代数部分1.已知：抛物线y=。犬2+万1+。与R轴交于A、5两点，与y轴交于点C.其中点A在工 轴的负半轴上，点。在y轴的负半轴上，线段。4、。的长(。4。)是方程/_ 5犬+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=l.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点。是线段A5上的一个动点(与点A、5不重合)，过点。作。石5c交AC 于点,连结。，设5。的长为加，C。石的面积为S,求S与加的函数关系式，并写出自变量加的取值范围.S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时。点坐标；若不存在，请说明理由.O D B第38页共79页初中数学参考资料2.已知，如图1,过点石(0,-1)作平行于x轴的直线/,抛物线上的两点a、5的横坐标分别为-1和4,直线交y轴于点尸，过点A、5分别作直线/的垂线，垂足分 别为点C、D,连接。/、DF.(1)求点4 B、方的坐标；(2)求证：CF 1DF；(3)点尸是抛物线=/对称轴右侧图象上的一动点，过点尸作尸。_L尸。交无轴 4于点Q,是否存在点尸使得。尸。与口)尸相似？若存在，请求出所有符合条件(图1)备用图第39页共79页初中数学参考资料3.已知矩形纸片。45。的长为4,宽为3,以长。4所在的直线为x轴，0为坐标原点建 立平面直角坐标系；点尸是。4边上的动点(与点0、A不重合)，现将尸。沿尸。翻折 得到尸。，再在边上选取适当的点。将P4。沿尸。翻折，得到PFD,使得 直线尸、尸尸重合.(1)若点落在5C边上，如图，求点尸、a。的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式；(2)若点石落在矩形纸片。45。的内部，如图，设。尸=x,=当x为何值时，y取得最大值？(3)在(1)的情况下，过点尸、。、。三点的抛物线上是否存在点。使尸。是以尸。为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点。的坐标.图第40页共79页初中数学参考资料4.如图，已知抛物线y=/+4犬+3交x轴于4、B两点，交y轴于点C,抛物线的对称 轴交x轴于点石，点5的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；(2)在平面直角坐标系X。丁中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点。，在抛物线上是否存在点使得直线CM把 四边形。0。分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请第41页共79页初中数学参考资料5.如图，已知抛物线y=/+to+3(”W0)与九轴交于点A(1,0)和点5(3,0),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点问在对称轴上是否存在点P,使CMP为等腰三 角形？若存在，诗直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图，若点石为第二象限抛物线上一动点，连接5人CE,求四边形5。面积的 最大值，并求此时点的坐标.第42页共79页初中数学参考资料二、动态几何6.如图，在梯形 中，DC/AB,ZA=90,AO=6 厘米，。=4 厘米，BC 的坡度i=3：4,动点尸从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点。从点B出发以3厘米/秒的速度沿5。一。方向向点。运动，两个动点同时出发，当其中一个动 点到达终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.(1)求边的长；(2)当/为何值时，尸。与相互平分；(3)连结尸。，设尸的面积为y,探求y与，的函数关系式，求，为何值时，y有最大值？最大值是多少？7.已知：直线y=x+l与y轴交于A,与x轴交于。，抛物线y=/与直线交于A、石两点，与x轴交于5、C两点，且5