抽象函数的奇偶性周期性对称性.doc

抽象函数的周期性与对称性

知识点梳理
一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。
推论1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。
推论2. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
推论3. 若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。
定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。
推论1. 若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。
推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。
推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。
推论2. 函数与函数的图象关于直线对称。
定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。
推论. 函数与函数图象关于点对称。
二、抽象函数的周期性
定理5.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论1.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论2.若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。
推论3. 若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。
定理7.若函数的图象关于直线 与 对称，则是以为周期的周期函数。
定理8.若函数的图象关于点与点 对称，则是以为周期的周期函数。
定理9.若函数的图象关于直线与 点，则是以为周期的周期函数。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。
1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝(　　)
A．13　　　　　 B．2
C. D.
2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A．是增函数且最小值为－5
B．是增函数且最大值为－5
C．是减函数且最小值为－5
D．是减函数且最大值为－5
3．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.
4．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

6．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足
①f(x1－x2)＝；
②存在正常数a，使f(a)＝1.
求证：(1)f(x)是奇函数；
(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.

1、若函数对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）
A.f (2) D.f (4)点（1，0）对称
5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

6、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）
A.0 B. C.1 D.

7、已知，，，…，，则（ ）.
A. B. C. D.3

8、在数列则=

9、定义域为R，且对任意都有，若则=

10、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=

11、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为

12、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －x，则f (8.6 ) = _______

13、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.

参考答案：1、若函数对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）
A.f (2)足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）
A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
答案A。分析：图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，

4、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
答案：D。解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。
5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
答案：C。
6、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）
A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数
答案：A.解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
7、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）
A.0 B. C.1 D.
答案：A。解析：令，则；令，则
由得，构造函数，由，所以
8、已知，，，…，，则（ ）.
A. B. C. D.3
答案：A。分析：由，知，，.
为迭代周期函数，故，，.
9、在数列则=
答案：。
10、定义域为R，且对任意都有，若则=_
答案：。
11、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=
答案：2.
12、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为
答案：0.函数关于和对称，周期为4。
13、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －x，则f (8.6 ) = _______
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
11、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.
解：设
时，有
是以2 为周期的函数，.