1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题跟踪训练(十九)1(2015银川模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为 2，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM2MB，求直线l的方程 解(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因为c1，ca12，所以a2，b3，所以椭圆方程为x24y231.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由ykx 1x24y23 1得(3 4k2)x28kx80，且 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM2MB得x1 2x2，又x1x28k3 4k2，
2、x1x283 4k2，所以x2 8k34k2，2x22834k2，消去x2得8k34k22434k2，解得k214，k12，所以直线l的方程为y12x1，即x2y20 或x2y20.2(2015安徽卷)设椭圆E的方程为x2a2y2b21(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为510.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解(1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b，又kOM510，从而b2a510.进而a5
3、b，ca2b22b，故eca255.(2)证明：由N是线段AC的中点知，点N的坐标为a2，b2，可得NMa6，5b6.又AB(a，b)，从而有ABNM16a256b216(5b2a2)由(1)可知a25b2，所以ABNM 0，故MNAB.3(2015福建卷)已知点F为抛物线E：y2 2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切 解(1)由抛物线的定义得|AF|2p2.由已知|AF|3，得 2p23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.推荐学
4、习K12 资料推荐学习K12 资料(2)证明：证法一：如图，因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y22(x1)由y22x，y24x得 2x25x20，解得x2 或x12，从而B12，2.又G(1,0)，所以kGA2202223，kGB2012223，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切证法二：如图，设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因为点A(2，m)在
5、抛物线E：y24x上，所以m22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y22(x1)由y22x，y24x得 2x25x20，解得x2 或x12，从而B12，2.又G(1,0)，故直线GA的方程为22x 3y220，从而r|2222|894217.又直线GB的方程为22x3y220，所以点F到直线GB的距离d|22 22|894217r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切4(2015沈阳第一次模拟)如图，椭圆E：x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，ABF2的周长为42，
6、且当AF1F2的面积最大时，AF1F2为直角三角形(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在点T(t,0)，使得TATB为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)当AF1F2的面积最大时，AF1F2为直角三角形，此时A(0，b)，根据题意得，bc，4a42，故a22，b2 1，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以椭圆E的方程为x22y21.(2)若过F1的直线的斜率存在，设其方程为yk1(x1)，由yk1xx22y22得，(2k211)x24k21x2k2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得，x1x24k212k211，x1x22k2122k211，TATB(x1t，y1)(x2t，y2)x1x2t(x1x2)t2k21(x1 1)(x2 1)(k211)x1x2(k21t)(x1x2)k21t2(k21 1)2k2122k211(k21t)4k212k211k21t2tk2122k211t2，当 4t1 4，即t54时，TATB716为定值；若过F1的直线的斜率不存在，不妨设点A在x轴上方，则A1，22，B1，22，T54，0，TATB716为定值综上，存在点T54，0，使得TATB为定值
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